ciag WaW: Wyznacz granicę ciągu rekurencyjnego a₁=2, a₂=3/2, ,

	(n−1)an−1−n
an+1=an+		, n≥2.
	(n−1)n(n+1)

Jak wyznaczyc lim a_n przy n dążacym do ∞

Mariusz: Chcą od ciebie granicy ale gdybyś chciał ją policzyć ze wzoru jawnego to musiałbyś rozwiązać równanie różniczkowe liniowe niejednorodne drugiego rzędu Niech A(x)=∑_n=1^∞a_nxⁿ

	1		1
an+1=an+		an−1−
	n(n+1)		(n−1)(n+1)

Ponieważ rekurencja zachodzi dla n ≥ 2 to wstawiając funkcję tworzącą do równania zaczynasz sumowanie od n=2

	1
∑n=2∞an+1xn=∑n=2∞anxn+∑n=2∞		an−1xn
	n(n+1)

	1
−∑n=2∞		xn
	(n−1)(n+1)

	1
Sumę ∑n=2∞		xn
	(n−1)(n+1)

można policzyć np całkując dwukrotnie szereg geometryczny

	1		1		1		1		1		1
∑n=2∞		xn=		(		(x2−1)ln(		)+		x2+		x)
	(n−1)(n+1)		x		2		1−x		4		2

1
	(∑n=2∞an+1xn+1)=∑n=1∞anxn−a1x+
x

	1
∑n=1∞		anxn+1
	(n+1)(n+2)

	1		1		1		1		1
−		(		(x2−1)ln(		)+		x2+		x)
	x		2		1−x		4		2

1
	(∑n=2∞an+1xn+1)=∑n=1∞anxn−a1x+
x

	1
x(∑n=1∞		anxn)
	(n+1)(n+2)

	1		1		1		1		1
−		(		(x2−1)ln(		)+		x2+		x)
	x		2		1−x		4		2

∑_n=2^∞a_n+1xⁿ⁺¹=x(∑_n=1^∞a_n)−a₁x²+

	1
x2(∑n=1∞		anxn)
	(n+1)(n+2)

	1		1		1		1
−(		(x2−1)ln(		)+		x2+		x)
	2		1−x		4		2

∑_n=1^∞a_nxⁿ − a₁x−a₂x²=x(∑_n=1^∞a_nxⁿ)−a₁x²+

	1		1		1		1		1
x2(∑n=1∞		anxn)−(		(x2−1)ln(		)+		x2+		x)
	(n+1)(n+2)		2		1−x		4		2

	1
Niech B(x)=∑n=1∞		anxn
	(n+1)(n+2)

	1		1		1		1
A(x)(1−x)−x2B(x)=(a1−		)x+(a2−a1−		)x2−		(x2−1)ln(		)
	2		4		2		1−x

	3		3		1		1
A(x)(1−x)−x2B(x)=		x−		x2−		(x2−1)ln(		)
	2		4		2		1−x

	3		3		1		1
(x−1)A(x)+x2B(x)=		x2−		x+		(x2−1)ln(		)
	4		2		2		1−x

	1
B(x)=∑n=1∞		anxn
	(n+1)(n+2)

	1
x2B(x)=∑n=1∞		anxn+2
	(n+1)(n+2)

	(n+2)
2xB(x)+x2B'(x)=∑n=1∞		anxn+1
	(n+1)(n+2)

	1
2xB(x)+x2B'(x)=∑n=1∞		anxn+1
	n+1

	n+1
2B(x)+2xB'(x)+2xB'(x)+x2B''(x)=∑n=1∞		anxn
	n+1

x²B''(x)+4xB'(x)+2B(x)=∑_n=1^∞a_nxⁿ A(x)=x²B''(x)+4xB'(x)+2B(x)

	3		3		1		1
(x−1)(x2B''(x)+4xB'(x)+2B(x))+x2B(x)=		x2−		x+		(x2−1)ln(		)
	4		2		2		1−x

	3		3		1		1
(x3−x2)B''(x)+(4x2−4x)B'(x)+(x2+2x−2)B(x)=		x2−		x+		(x2−1)ln(		)
	4		2		2		1−x

Jeżeli uda ci się odgadnąć jedną całkę szczególną równania jednorodnego (x³−x²)B''(x)+(4x²−4x)B'(x)+(x²+2x−2)B(x)=0 to obniżaniem rzędu oraz uzmiennianiem stałych możesz rozwiązać to równanie To równanie może też być sprowadzone do równania Riccatiego co może ułatwić rozwiązanie równania

Mariusz: Sprowadzając to równanie do równania Riccatiego otrzymasz (x³−x²)B''(x)+(4x²−4x)B'(x)+(x²+2x−2)B(x)=0 B(x)=u(x)v(x) (x³−x²)(u'(x)v(x)+u(x)v'(x))'+(4x²−4x)(u'(x)v(x)+u(x)v'(x))+(x²+2x−2)(u(x)v(x))=0 (x³−x²)(u''(x)v(x)+2u'(x)v'(x)+u(x)v''(x))+(4x²−4x)(u'(x)v(x)+u(x)v'(x))+ (x²+2x−2)(u(x)v(x))=0 (x³−x²)v(x)u''(x)+(2(x³−x²)v'(x)+(4x²−4x)v(x))u'(x)+ ((x³−x²)v''(x)+(4x²−4x)v'(x)+(x²+2x−2)u(x))=0 2(x³−x²)v'(x)+(4x²−4x)v(x)=0 xv'(x)+2v(x)=0 xv'(x)=−2v(x)

v'(x)		−2
	=
v(x)		x

dv		−2
	=
v		x

ln|v|=−2ln|x|

	1
v=
	x2

	2		1
(x−1)u''(x)+(−2(x3−x2)		+(4x2−4x)		)u'(x)+
	x3		x2

	6		2		1
((x3−x2)		−(4x2−4x)		+(x2+2x−2)		)=0
	x4		x3		x2

	6(x−1)−8(x−1)+x2+2x−2
(x−1)u''(x)+		u(x)=0
	x2

	−2x+2+x2+2x−2
(x−1)u''(x)+		u(x)=0
	x2

(x−1)u''(x)+u(x)=0 u(x)=e^∫z(x)dx (x−1)(z(x)e^∫z(x)dx)'+e^∫z(x)dx=0 (x−1)(z'(x)e^∫z(x)dx+z²(x)e^∫z(x)dx)+e^∫z(x)dx=0 (x−1)e^∫z(x)dx(z'(x)+z²(x))+e^∫z(x)dx=0 (x−1)(z'(x)+z²(x))+1=0 (x−1)(z'(x)+z²(x))=−1

	1
z'(x)+z2(x)=−
	x−1

	1
z'(x)=−z2(x)+
	1−x

No i masz równanie Riccatiego w postaci kanonicznej Ja akurat nie widzę całki szczególnej Mając całkę szczególną możesz równanie Riccatiego sprowadzić do równania Bernoulliego bądź do równania liniowego niejednorodnego pierwszego rzędu

Adamm: |a_n| ≤ An, A>0 to |a_n+1| ≤ An + Ao(n) + o(n) przy czym wyrażenia o(n) nie są zależne od A Niech n będzie tak duże by An + Ao(n) + o(n) ≤ An + A(1/2)+A(1/2) = A(n+1) (tutaj możemy założyć A>1) Zatem dla pewnego N i A>0 mamy |a_n| ≤ An dla n ≥ N.

	an		an
Stąd z twierdzenia Stolza lim		= lim (an+1−an) = lim		= 0
	n		n2

Adamm: |a_n+1| ≤ An + Ao(1) + o(1), wyrażenia o(1) nie są zależne od A

Adamm: Inaczej, z twierdzenia Stolza

	an		an+1−an		an
lim		= lim		= lim		= 0
	n/(logn)2		−1/log3(n)		−n2/log3(n)

Zatem a_n = o(n/log²(n)) stąd ∑ |a_n+1−a_n| ≤ C₁ * ∑ 1/(n log²(n)) + C₀ < ∞ stąd a_n jest zbieżny

Mariusz: Adam pokazałeś że granica istnieje i jest właściwa a tu mogło chodzić o policzenie tej granicy Wolfram podaje że rozwiązanie tego równania Riccatiego które otrzymałem jest wyrażone funkcjami Bessela więc lepiej byłoby sprowadzić to równanie liniowe do równania Bessela