matematykaszkolna.pl
ciag WaW: Wyznacz granicę ciągu rekurencyjnego a1=2, a2=3/2, ,
 (n−1)an−1−n 
an+1=an+

, n≥2.
 (n−1)n(n+1) 
Jak wyznaczyc lim an przy n dążacym do
27 cze 21:19
Mariusz: Chcą od ciebie granicy ale gdybyś chciał ją policzyć ze wzoru jawnego to musiałbyś rozwiązać równanie różniczkowe liniowe niejednorodne drugiego rzędu Niech A(x)=∑n=1anxn
 1 1 
an+1=an+

an−1

 n(n+1) (n−1)(n+1) 
Ponieważ rekurencja zachodzi dla n ≥ 2 to wstawiając funkcję tworzącą do równania zaczynasz sumowanie od n=2
 1 
n=2an+1xn=∑n=2anxn+∑n=2

an−1xn
 n(n+1) 
 1 
−∑n=2

xn
 (n−1)(n+1) 
 1 
Sumę ∑n=2

xn
 (n−1)(n+1) 
można policzyć np całkując dwukrotnie szereg geometryczny
 1 1 1 1 1 1 
n=2

xn=

(

(x2−1)ln(

)+

x2+

x)
 (n−1)(n+1) x 2 1−x 4 2 
1 

(∑n=2an+1xn+1)=∑n=1anxn−a1x+
x 
 1 
n=1

anxn+1
 (n+1)(n+2) 
 1 1 1 1 1 

(

(x2−1)ln(

)+

x2+

x)
 x 2 1−x 4 2 
1 

(∑n=2an+1xn+1)=∑n=1anxn−a1x+
x 
 1 
x(∑n=1

anxn)
 (n+1)(n+2) 
 1 1 1 1 1 

(

(x2−1)ln(

)+

x2+

x)
 x 2 1−x 4 2 
n=2an+1xn+1=x(∑n=1an)−a1x2+
 1 
x2(∑n=1

anxn)
 (n+1)(n+2) 
 1 1 1 1 
−(

(x2−1)ln(

)+

x2+

x)
 2 1−x 4 2 
n=1anxn − a1x−a2x2=x(∑n=1anxn)−a1x2+
 1 1 1 1 1 
x2(∑n=1

anxn)−(

(x2−1)ln(

)+

x2+

x)
 (n+1)(n+2) 2 1−x 4 2 
 1 
Niech B(x)=∑n=1

anxn
 (n+1)(n+2) 
 1 1 1 1 
A(x)(1−x)−x2B(x)=(a1

)x+(a2−a1

)x2

(x2−1)ln(

)
 2 4 2 1−x 
 3 3 1 1 
A(x)(1−x)−x2B(x)=

x−

x2

(x2−1)ln(

)
 2 4 2 1−x 
 3 3 1 1 
(x−1)A(x)+x2B(x)=

x2

x+

(x2−1)ln(

)
 4 2 2 1−x 
 1 
B(x)=∑n=1

anxn
 (n+1)(n+2) 
 1 
x2B(x)=∑n=1

anxn+2
 (n+1)(n+2) 
 (n+2) 
2xB(x)+x2B'(x)=∑n=1

anxn+1
 (n+1)(n+2) 
 1 
2xB(x)+x2B'(x)=∑n=1

anxn+1
 n+1 
 n+1 
2B(x)+2xB'(x)+2xB'(x)+x2B''(x)=∑n=1

anxn
 n+1 
x2B''(x)+4xB'(x)+2B(x)=∑n=1anxn A(x)=x2B''(x)+4xB'(x)+2B(x)
 3 3 1 1 
(x−1)(x2B''(x)+4xB'(x)+2B(x))+x2B(x)=

x2

x+

(x2−1)ln(

)
 4 2 2 1−x 
 3 3 1 1 
(x3−x2)B''(x)+(4x2−4x)B'(x)+(x2+2x−2)B(x)=

x2

x+

(x2−1)ln(

)
 4 2 2 1−x 
Jeżeli uda ci się odgadnąć jedną całkę szczególną równania jednorodnego (x3−x2)B''(x)+(4x2−4x)B'(x)+(x2+2x−2)B(x)=0 to obniżaniem rzędu oraz uzmiennianiem stałych możesz rozwiązać to równanie To równanie może też być sprowadzone do równania Riccatiego co może ułatwić rozwiązanie równania
29 cze 16:50
Mariusz: Sprowadzając to równanie do równania Riccatiego otrzymasz (x3−x2)B''(x)+(4x2−4x)B'(x)+(x2+2x−2)B(x)=0 B(x)=u(x)v(x) (x3−x2)(u'(x)v(x)+u(x)v'(x))'+(4x2−4x)(u'(x)v(x)+u(x)v'(x))+(x2+2x−2)(u(x)v(x))=0 (x3−x2)(u''(x)v(x)+2u'(x)v'(x)+u(x)v''(x))+(4x2−4x)(u'(x)v(x)+u(x)v'(x))+ (x2+2x−2)(u(x)v(x))=0 (x3−x2)v(x)u''(x)+(2(x3−x2)v'(x)+(4x2−4x)v(x))u'(x)+ ((x3−x2)v''(x)+(4x2−4x)v'(x)+(x2+2x−2)u(x))=0 2(x3−x2)v'(x)+(4x2−4x)v(x)=0 xv'(x)+2v(x)=0 xv'(x)=−2v(x)
v'(x) −2 

=

v(x) x 
dv −2 

=

v x 
ln|v|=−2ln|x|
 1 
v=

 x2 
 2 1 
(x−1)u''(x)+(−2(x3−x2)

+(4x2−4x)

)u'(x)+
 x3 x2 
 6 2 1 
((x3−x2)

−(4x2−4x)

+(x2+2x−2)

)=0
 x4 x3 x2 
 6(x−1)−8(x−1)+x2+2x−2 
(x−1)u''(x)+

u(x)=0
 x2 
 −2x+2+x2+2x−2 
(x−1)u''(x)+

u(x)=0
 x2 
(x−1)u''(x)+u(x)=0 u(x)=e∫z(x)dx (x−1)(z(x)e∫z(x)dx)'+e∫z(x)dx=0 (x−1)(z'(x)e∫z(x)dx+z2(x)e∫z(x)dx)+e∫z(x)dx=0 (x−1)e∫z(x)dx(z'(x)+z2(x))+e∫z(x)dx=0 (x−1)(z'(x)+z2(x))+1=0 (x−1)(z'(x)+z2(x))=−1
 1 
z'(x)+z2(x)=−

 x−1 
 1 
z'(x)=−z2(x)+

 1−x 
No i masz równanie Riccatiego w postaci kanonicznej Ja akurat nie widzę całki szczególnej Mając całkę szczególną możesz równanie Riccatiego sprowadzić do równania Bernoulliego bądź do równania liniowego niejednorodnego pierwszego rzędu
29 cze 18:32
Adamm: |an| ≤ An, A>0 to |an+1| ≤ An + Ao(n) + o(n) przy czym wyrażenia o(n) nie są zależne od A Niech n będzie tak duże by An + Ao(n) + o(n) ≤ An + A(1/2)+A(1/2) = A(n+1) (tutaj możemy założyć A>1) Zatem dla pewnego N i A>0 mamy |an| ≤ An dla n ≥ N.
 an an 
Stąd z twierdzenia Stolza lim

= lim (an+1−an) = lim

= 0
 n n2 
30 cze 14:24
Adamm: |an+1| ≤ An + Ao(1) + o(1), wyrażenia o(1) nie są zależne od A
30 cze 14:27
Adamm: Inaczej, z twierdzenia Stolza
 an an+1−an an 
lim

= lim

= lim

= 0
 n/(logn)2 −1/log3(n) −n2/log3(n) 
Zatem an = o(n/log2(n)) stąd ∑ |an+1−an| ≤ C1 * ∑ 1/(n log2(n)) + C0 < stąd an jest zbieżny
30 cze 14:41
Mariusz: Adam pokazałeś że granica istnieje i jest właściwa a tu mogło chodzić o policzenie tej granicy Wolfram podaje że rozwiązanie tego równania Riccatiego które otrzymałem jest wyrażone funkcjami Bessela więc lepiej byłoby sprowadzić to równanie liniowe do równania Bessela
30 cze 18:56