suma orik:

	9n+4
Jak policzyć sumę szeregu ∑n=1∞
	n(3n+1)(3n+2)

wredulus_pospolitus: rozkład na ułamki proste:

9n+4		A		B		C
	=		+		+		= (*)
n(3n+1)(3n+2)		n		3n+1		3n+2

jak policzysz to wyjdzie:

	2		3		3
(*) =		−		−
	n		3n+1		3n+2

wypisz sobie parę kolejnych elementów i zobacz co zostaje i ... kombinuj dalej

orik: Ok, nie widzę właśnie co zostanie, wychodzą różne ułamki , bez żadnej redukcji

jc:

	9
suma =		− 3 ln 3
	2

orik: A jak do tego doszedłeś?

jc:

	2x2−x3−x4		2x+1
f(x)=		=x+1−
	1−x3		x2+x+1

Rozwinięcie lewej strony 2 (x² + x⁵ + x⁸ + ...) − (x³ + x⁶ + x⁹ + ...) − (x⁴ + x⁷ + x¹⁰ + ...) Całkujemy od 0 do x

	x3		x6		x9
2(		+		+		+ ...)
	3		6		9

	x4		x7		x5		x7
− (		+		+ ...) − (		+		+...)
	4		7		5		7

Teraz musisz ustawić wyrazy wg potęg x. Całka prawej strony = x²/2 + x − ln(x²+x+1) Prawa strona jest zbieżna przy x→1. Lewa (po właściwym ustawieniu wyrazów) też powinna (jest jakieś twierdzenie na ten temat). Po lewej stronie uzyskasz swój szereg (podzielony przez 3). Po prawej uzyskasz 3/2 − ln 3.

jc: Inny sposób 2/n − 3/(3n+1) − 3/(3n+2) = 3[ 1/n −[1/(3n) + 1/(3n+1) + 1/(3n+2)] ] S_n = 3[1 + 1/2+ ...+ 1/n] − 3[1/3 + 1/4 + ... 1/(3n+2)] = 9/2+ 3[1 + 1/2+ ...+ 1/n] − 3[1+1/2+1/3 + 1/4 + ... 1/(3n+2)] = 9/2 − 3 [1/(n+1) + 1/(n+2) + ...+1/(3n+2)]

	dx
1/(n+1) + 1/(n+2) + ...+1/(3n+2) = ∫13		= ln 3
	x

S_n →9/2 − 3 ln 3