rozkład na pierwiastki proste Emilia: jest ktoś w stanie wyjaśnić mi dlaczego rozkład na pierwiastki proste wyrażenia:

3		(A(x2+x+1)−(Ax+B)(2x+1))		Cx+D
	jest równy		+		,
(x2 + x +1)2		(x2+x+1)2		x2+x+1

	(Ax+B)		(Cx+D)
a nie jak zgodnie z regułami których się uczyłam:		+		?
	(x2+x+1)		(x2+x+1)2

jeśli to pomoże, jest to potrzebne do dałki nieoznaczonej.

wredulus_pospolitus: jeśli byś chciała zrobić 'tak jak się uczyłaś' to byłoby to:

Ax+B		Cx3 + Dx + E
	+		(w liczniku masz stopień o jeden niższy niż
x2+x+1		(x2+x+1)2

mianownik) Nie bardzo rozumiem skąd powstało to co masz na początku napisane

wredulus_pospolitus: tfu ... zapomnij o tym co napisałem

Emilia: no właśnie też nie wiem, jak się to policzy to górne to wychodzi A=2, B=2,D=2, C=0 i po policzeniu całki wychodzi prawidłowy wynik, a z policzenia tego dolnego wychodzi A=0, B=0, C=0, D=3, więc to nie zmienia w żaden sposób tego ułamka.

wredulus_pospolitus: powiedzmy, że robimy tak jak chcesz z tego mamy: x³ : A = 0 x²: B = 0 −−−> więc pierwszy ułamek jest = 0 x: C = 0 więc nic nie zrobiłaś to co jest napisane to jest 'metoda zgaduj zgaduli' liczysz:

	Ax+B		A(x2+x+1) − (Ax+B)(2x+1)
(		)' =
	x2+x+1		(x2+x+1)2

	Cx + D
widzisz że to za mało, dlatego dorzucasz jeszcze +
	x2+x+1

Emilia: jedyną regułkę jaką widzę, to że A mnożymy przez ten mianownik i odejmujemy Ax+B pomnożone przez pochodną mianownika

jc: Co to jest rozkład na pierwiastki proste?

Emilia: ułamki* sorrki

jc:

1
	to rzeczywisty ułamek prosty.
(x2+x+1)2

Jak chcesz, możesz wyrażenie rozłożyć na zespolone ułamki proste.

	−1+i√3		−1−i√3
x2+x+1=(x−w)(x−u), w=		, v=
	2		2

Mariusz: Emilia a czy to co napisałaś w pierwszym wpisie to nie jest wydzielenie części wymiernej całki sposobem Ostrogradskiego ?

Mariusz: Emilia sposób który zaprezentowałaś w pierwszym wpisie jest dobry i jest to sposób Ostrogradskiego na wydzielenie części wymiernej całki 25 cze 2021 12:25 Wredulus , ona tutaj ma dobrze bo ten pierwszy ułamek już rozpisała z pochodnej iloczynu 25 cze 2021 12:35 Niekoniecznie zgaduj zgadula

	L(x)
Ostrogradski zauważył że całkę postaci ∫		dx ,
	M(x)

	L(x)
gdzie		jest funkcją wymierną właściwą
	M(x)

oraz mianownik posiada pierwiastki wielokrotne można zapisać w postaci

	L(x)		L1(x)		L2(x)
∫		dx=		+∫		dx
	M(x)		M2(x)		M2(x)

Wiemy że ułamki pojawiają się gdy mianownik posiada pierwiastki wielokrotne (rzeczywiste bądź zespolone) więc stąd pomysł aby zapisać całkę w postaci sumy funkcji wymiernej właściwej i całki z funkcji wymiernej której mianownik posiada tylko pierwiastki jednokrotne Mamy więc

	L(x)		L1(x)		L2(x)
∫		dx=		+∫		dx
	M(x)		M2(x)		M2(x)

M₂(x) posiada te same pierwiastki co M(x) tyle że jednokrotne M(x)=M₁(x)M₂(x) Tutaj M₁(x) ma te same pierwiastki co M(x) w krotności o jeden mniejszej Jeżeli nie mamy podanego rozkładu mianownika na czynniki to mianowniki możemy uzyskać w następujący sposób M₁(x) = NWD(M(x),M'(x))

	M(x)
M2(x) =
	M1(x)

przy czym NWD obliczamy bez rozkładu na czynniki , korzystając z algorytmu Euklidesa z dzieleniem stopień L(x) < stopień M(x) stopień L₁(x) < stopień M₁(x) stopień L₂(x) < stopień M₂(x)

	L(x)		L1(x)		L2(x)
∫		dx=		+∫		dx
	M(x)		M2(x)		M2(x)

Za współczynniki wielomianów w licznikach przyjmujesz współczynniki literowe i różniczkujesz stronami powyższą równość aby je obliczyć