Masa figury Damian#UDM: Wyznacz masę figury D ograniczonej krzywymi y=2+√4−x² , y=√12−x² , x=0 (x≥0), jeśli gęstość powierzchniowa masy w punkcie jest równa odległości punktu od osi Oy.

getin: gęstość = |x| obliczamy punkty przecięcia { y = 2+√4−x² { y = √12−x² √12−x² = 2+√4−x² √12−x² − √4−x² = 2 podnosimy stronami do kwadratu (√12−x² − √4−x²)² = 2² 12−x² − 2√(12−x²)(4−x²) + 4−x² = 4 −2√(12−x²)(4−x²) = 2x²−12 |:(−2) √(12−x²)(4−x²) = 6−x² podnosimy stronami do kwadratu (12−x²)(4−x²) = (6−x²)² x⁴−16x²+48 = x⁴−12x²+36 −4x² = −12 x² = 3 x = √3 lub x = −√3 y = √12−x² y = √12−(±√3)² = 3 A = (√3,3) B = (−√3,3) to punkty przecięcia krzywych pole figury wyraża się całką P = ∫_−√3^√3 2+√4−x² − √12−x² dx = = 2 ∫₀^√32+√4−x² − √12−x² dx jeśli funkcja podcałkowa jest parzysta oraz granice całkowania to liczby przeciwne od −a do a, wtedy można taką całkę zastąpić podwojoną całką w granicach od 0 do a masa (M) = gęstość * objętość M = 2 ∫₀^√3x*(2+√4−x² − √12−x²) dx = = 2∫₀^√32x dx + 2∫₀^√3x*√4−x² dx − 2∫₀^√3 x*√12−x² dx = ... ∫ 2x dx = x² + C ∫ x*√4−x² dx = ...

	1
podstawienie 4−x2 = t, −2xdx = dt, xdx = −		dt
	2

	1		1		2
... = −		∫√t dt = −		*		*t3/2 + C =
	2		2		3

	1
= −		*√(4−x2)3 + C
	3

∫ x*√12−x² dx = ...

	1
podstawienie 12−x2 = t, −2xdx = dt, xdx = −		dt
	2

	1		1		2
... = −		∫√t dt = −		*		*t3/2 + C =
	2		2		3

	1
= −		*√(12−x2)3 + C
	3

M = 2∫₀^√32x dx + 2∫₀^√3x*√4−x² dx − 2∫₀^√3 x*√12−x² dx =

	1		1
= 2x2 + 2(−		*√(4−x2)3) − 2(−		*√(12−x2)3) |√30
	3		3

	2		2
= 2x2 +		√(12−x2)3 −		√(4−x2)3
	3		3

i wstawiamy granice x=√3, potem x=0 i odejmujemy

	2		2
M = 2*(√3)2 +		√(12−(√3)2)3 −		√(4−(√3)2)3 −
	3		3

	2		2
− 2*02 +		√(12−02)3 −		√(4−02)3 =
	3		3

	2		2
= 6 + 18 +		* 24√3 −		* 8 =
	3		3

	16
= 16√3 −
	3

getin: źle odjąłem, powinno być

	2		2
2*(√3)2 +		√(12−(√3)2)3 −		√(4−(√3)2)3
	3		3

	2		2
− 2*02 −		√(12−02)3 +		√(4−02)3
	3		3

	2		2		2
= 6 + 18 −		−		*24√3 +		*8 =
	3		3		3

	86
=		− 16√3
	3

getin:

	86
o, i teraz dopiero przeczytałem że ma być dla x≥0 także mój wynik		− 16{3} trzeba
	3

podzielić przez 2

	43
wyjdzie		− 8√3
	3

Damian#UDM: Super, dziękuję za pomoc Jest czego się uczyć.

daras: oj taaaak