Granica punktowa Mati2000: Granica punktowa f ciągu (fn) funkcji całkowalnych na przedziale [a,b] jest funkcją całkowalną na tym przedziale, gdy: a) ciąg (fn) dąży do funkcji f jednostajnie na przedziale [a,b] b) f jest funkcją ograniczoną na przedziale [a,b] c) ciąg fn spełnia na przedziale [a,b] warunek Cauchy'ego ze względu na zbieżność jednostajną. Odpowiedź prawda/fałsz

Adamm: a) |f| ≤ |f−f_n|+|f_n| ≤ 1+|f_n| dla odpowiednio dużych n więc f jest całkowalna (Lebesgue) Mamy { x : ∀_n f_n jest ciągła w x} ⊆ {x : f jest ciągła w x} z jednostajnej zbieżności. Zatem zbiór nieciągłości f jest zbiorem miary zero. Stąd f jest całkowalna w sensie Riemanna jeśli f_n są całkowalne w sensie Riemanna. b) Np. ułóż liczby wymierne w [a, b] w ciąg x₁, x₂, ... i rozważ f_n(x_i) = 1 dla 1 ≤ i ≤ n oraz f_n(x) = 0 w przeciwnym wypadku wtedy f_n → f gdzie f(x) = 1 dla x wymiernych i 0 w przeciwnym wypadku Ta funkcja nie jest całkowalna w sensie Riemanna. c) wtedy f_n → f jednostajnie i patrz a)