Promień zbieżności
Patryk: Witam,
Próbuj policzyć promień zbieżności o obszar zbieżności tego szeregu.
Zatrzymałem sie na promieniu, ponieważ w odpowiedziach mam napisane, że R =
√5 natomiast mi
wychodzi R = 5. Która wersja jest prawidłowa?
| (x−2)2n | | tn | |
∑∞n=1 |
| = ∑ |
| , t = (x−2)2 |
| 5n(n2+3n) | | 5n(n2+3n) | |
23 cze 12:47
ICSP:
|t| < 5
|x−2|2 < 5
|x| < √5
Podstawiając tworzysz nowy szereg o innym promieniu zbieżności niż szereg wyjściowy.
23 cze 12:58
chichi:
@
ICSP |x−2|<
√5, sprawdź bezpośrednio jeszcze co dzieje się na krańcach, czyli tam gdzie
|x−2|=
√5 osobno dla 2 x'ów
23 cze 13:05
Patryk: Myślałem, że tylko przedziały się zmieniają a promień jest ten sam nawet jak robię podstawienie
23 cze 13:06
Patryk: Dzięki za pomoc
23 cze 13:08
ICSP: chichi zatrzymał się na promieniu, więc rozwiałem jego wątpliwości dotyczące tego
zagadania.
Zakładam, ze wie o konieczności rozpatrzenia brzegu osobno.
23 cze 13:15
chichi:
Można też robić to bez podstawienia i znajomości szeregów potęgowych, ale to
zabójstwo:
| (x−2)2n+2 | | (x−2)2n | |
limn→∞| |
| * |
| | = |
| 5n+1[(n+1)2+3(n+1)] | | 5n(n2+3n) | |
| (x−2)2(n2+3n) | |
= limn→∞| |
| | = |
| 5(n2+5n+4) | |
| (x−2)2 | | n2+3n | | (x−2)2 | |
= | |
| | limn→∞ |
| = | |
| | |
| 5 | | n2+5n+4 | | 5 | |
I teraz:
| (x−2)2 | |
| |
| |<1 ⇒ |x−2|2<5 ⇒ |x−2|<√5 |
| 5 | |
I mamy to samo, ale ileż liczenia...
23 cze 13:22
chichi:
@
ICSP do Ciebie skierowane było tylko to poprawienie nierówności, drugą część kierowałem
do autora, ale niefortunnie wyszło
23 cze 13:24
ICSP: a faktycznie.
2 zgubiłem
23 cze 13:28