krzywa stożkowa HGH: jaką krzywą stożkową przedstawia równanie −4x²+25y²−50y +125 = 0 Wydaje mi się że to będzie hiperbola, ale jak sprowadzić ten wzór do równiania hiperboli?

wakacje: −4x²+25y²−50y=−125 4x²−25y²+50y=125 4x²−25y²+50y−25=100 4x²−(25y²−50y+25)=100 4x²−25(y²−2y+1)=100 4x²−25(y−1)²=100

x2		(y−1)2
	−		=1
25		4

HGH: doszedłem do tego samego w zasadzie, ale mam −x² i +(y−1)², te znaki nie powinny być właśnie tak jak napisałem?

chichi: Można to z powrotem zwinąć i sprawdzić czy znaki się zgadzają, u Ciebie wtedy musiałoby być ...=−1 i jak pomnożysz stronami przez (−1) otrzymasz to samo co @wakacje

chichi: Niech f(x,y)≡−4x²+25y²−50y+125=0, wówczas mamy, że: |−8 0 0| det|0 50 −50| = −30000 ∧ Δ = 16 + 400 = 416 > 0 → krzywa jest hiperbolą |0 −50 125|

chichi: Mały błąd, który nie wpływa na rozwiązanie, ale Δ = 400 > 0

nolan92: a jak sprowadzic te elipse do postaci kanonicznej? 5x²+4xy+8y²−32x−56y+80=0

Mila: Obrócić układ współrzędnych x=(x'cosα+y'sinα) y=−x'sinα+y'cosα tak aby wyzerować współczynnik przy (x'y') 5x²+4xy+8y²−32x−56y+80=0 Jest to pracochłonne: 1) Dla wygody nie piszę znaczków przy x i y: 5*(xcosα+ysinα)²+4*(xcosα+ysinα)*(−xsinα+ycosα)+ +8*(−xsinα+ycosα)²−32*(xcosα+ysinα)−56*(−x*sinα+y*cosα)+80=0⇔ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− po wykonaniu działań i pogrupowaniu: 2) x²*(8sin²α+5cos²α−4sinα*cosα)+ +x*(56sinα−32cosα)+ +xy*(−4sin²+4cos²α−6sinα*cosα)+ y²*(5sin²α+8cos²α+4sinα*cosα) − y(32sinα+56cosα)+80=0 3) rozwiąż równanie: (−4sin²+4cos²α−6sinα*cosα)=0 oblicz sinα i cosα a następnie wstaw do równania w (2) Powodzenia

Mila:

	1		2		4
sinα=		, cosα=		, cos2α=
	√5		√5		5

	8		20		8		56		64
1) x2*(		+		−		)+x*(		−		)+
	5		5		5		√5		√5

	32		8		32		112
+y2*(1+		+		)−y*(		+		)+80=0
	5		5		√5		√5

	8		144
4x2−		x+9y2−		y+80=0
	√5		√5

	2		16
2) 4*(x2−		x)+9*(y2−		+80=0
	√5		√5

	1		1		8		64
4*[(x−		)2−		]+9*[(y−		)2−		]+80=0
	√5		5		√5		5

	1		8
4(x−		)2+9*(y−		)2=16
	√5		√5

3)

1   (x− )2   √5		8   (y− )2   √5
	+		=1
22		(43)2

4) Środek symetrii w starym układzie (2,3) Nie wiem, czy nie ma pomyłki, ale tak to się ustala. wolfram tak pokazuje: https://www.wolframalpha.com/input/?i=5x%5E2%2B4xy%2B8y%5E2%E2%88%9232x%E2%88%9256y%2B80%3D0

nolan92: Dziękuję Mila mogłabyś jeszcze mi pokazać jak wyliczyć te wartości sinusa i cosinusa bo kombinuję z tym równaniem i nie wychodzi coś

Mila: Równanie w nowym układzie ( chodzi mi o znaczki ' ) :

1   x'− )2   √5		8   (y'− )2   √5
	+		=1
22		(43)2

	1		8
S=(		,		)− środek symetrii elipsy w nowym układzie , a w starym jak podałam (
	√5		√5

oblicz sam) W nowym układzie obróconym o taki kąt α,

	1		2
że sinα=		i cos α=
	√5		√5

2) (−4sin²+4cos²α−6sinα*cosα)=0 4*(cos²α−sin²α)=3sin(2α) 4cos(2α)=3sin(2α) ,

	4
tg(2α)=
	3

4		2tgα
	=
3		1−tg2α

tgα=t, 2t²+3t−2=0

	1
t=−4 lub t=
	2

Wybieram kąt z I ćwiartki:

	1
tgα=		dalej już policzysz sinα i cosα ?
	2

Mila: Posprawdzałaś rachunki z 18:35 ?

Mila: Poprawa 20:43

	1		8
4*(x'−		+9*(y'−		)2=36 /:36
	√5)2		√5

1   (x'− )2   √5		8   (y'− )2   √5
	+		=1
32		22

	1		8
S'=(		,		)− środek symetrii w nowym układzie
	√5		√5

a=3, b=2 S=(2,3)− środek symetrii w starym układzie a,b − bez zmian, bo obrót jest izometrią.