. rrr:

	y
Mam takie równanie y'+		=y2lnx
	x

Robię podstawienie z=y⁻¹

	1
y=
	z

y'=lnz*z'

	1
y2=
	z2

Ale ciężko mi to rozwiązać.

jc: Nie rozumiem. Może tak?

	ln x
(xy)' = xy'+y= xy2 ln x = (xy)2
	x2

(xy)'		ln x
	=
(xy)2		x2

1		ln x		1
	=		+		+ C
xy		x		x

wredulus_pospolitus: jc

	lnx
(xy)' = (xy)2
	x

jc: Nawet lepiej.

	ln x		(ln x)2
∫		dx =
	x		2

Mariusz: rrr dobrze rozpoznałeś typ równania, równanie jest Bernoulliego, i twoja propozycja podstawienia też jest dobra jednak źle podstawiłeś

	y
y'+		=y2lnx
	x

	1
y=
	z

	1
y'=−		*z'
	z2

	1		1		1
−		*z'+		=		lnx|(−z2)
	z2		zx		z2

	z
z'−		=−lnx
	x

i masz równanie liniowe

	z
z'−		=0
	x

	z
z'=
	x

z'		1
	=
z		x

dz		dx
	=
z		x

ln|z|=ln|x|+C₁ |z|=e^C₁|x| z=C₂x z(x)=C(x)x

	z
z'−		=−lnx
	x

C'(x)x+C(x)−C(x)=−lnx C'(x)x=−lnx

	lnx
C'(x)=−
	x

	ln2x
C(x)=−
	2

Całka szczególna równania niejednorodnego to

	xln2x
z=−
	2

Całka ogólna równania jednorodnego to z = Cx Całka ogólna równania niejednorodnego jest sumą całki ogólnej równania jednorodnego oraz całka szczególnej równania niejednorodnego

	xln2x
z = Cx−
	2

	1
y =
	xln2x   C1x−   2

	2
y =
	21Cx − xln2x

Zatem rozwiązanie równania różniczkowego to

	2
y =
	Cx − xln2x

oraz y = 0

jc:

1		(ln x)2
	= C−
xy		2

2
	=2Cx − x(ln x)2
y

	2
y =
	2C− x(ln x)2

Może mniej ogólnie, ale chyba prościej.