Równanie xyz:

	xy		1
Pomoże ktoś z tym równaniem y'+		=
	1+x2		x(1+x2)

To równanie liniowe

	C
y=
	√1+x2

	C(x)
y=
	√1+x2

	1
C'(x)=
	x(1+x2)

Zobaczy ktoś, czy dobrze policzyłem C'(x) oraz pomoże ktoś z tą całką?

wakacje:

	dx
mi wychodzi C(x)=∫
	x√x2+1

a całkę policzyłem za pomocą podstawienia x=tan(t)

xyz:

	1
Jak działa to podstawienie? dx=		i co dalej?
	cos2x

wakacje:

	1		1
podstawienie: x=tan(t) → x2+1=tan2(t)+1=		, stąd √x2+1=
	cos2(t)		cos(t)

	1
dx=		dt
	cos2(t)

	dx
∫		=
	x√x2+1

	1		1
=∫		*		*dx=
	x		√x2+1

	cos(t)		dt
=∫		*cos(t)*		=
	sin(t)		cos2(t)

	dt
=∫		=...
	sin(t)

xyz: Zatem =−cos(t) x=tan(t) Jak wyznaczyć t z tego drugiego?

wakacje: arctan(x)=t

Mariusz:

	1		x
∫		dx=∫		dx
	x√x2+1		x2√x2+1

t=√x²+1 t²=x²+1 2tdt=2xdx tdt=xdx x²=t²−1

	t
∫		dt=
	t(t2−1)

	1
∫		dt
	t2−1

Podstawienie Eulera zadziałałoby jeszcze lepiej , tyle że to drugie, z wyrazem wolnym trójmianu kwadratowego

	1
∫		dx
	x√x2+1

√x²+1=xt−1 x²+1=x²t²−2tx+1 x² = x²t²−2tx x² − x²t² + 2tx = 0 x(x−xt²+2t)=0 x−xt²+2t=0 x(1−t²)=−2t

	2t
x=
	t2−1

	2t2−t2+1
xt−1=
	t2−1

	t2+1
xt−1=
	t2−1

	2(t2−1)−2t*2t
dx =		dt
	(t2−1)2

	−2t2−2
dx =		dt
	(t2−1)2

	t2−1	t2−1	(−2)(t2+1)
∫				dt
	2t	t2+1	(t2−1)2

	1
−∫		dt
	t

=−ln|t|+C

	√x2+1+1
=−ln|		|+C
	x

	x
=ln|		|+C
	√x2+1+1

	x(√x2+1−1)
=ln|		|+C
	(x2+1)−1

	x(√x2+1−1)
=ln|		|+C
	x2

	√x2+1−1
=ln|		|+C
	x

jc:

	udu
u=√x2+1, x=√u2−1, dx=
	√u2−1

	1		udu		du
całka = ∫		*		= ∫
	u √u2−1		√u2−1		u2−1

	1		1		1		1		u−1
=		∫(		−		) du =		ln
	2		u−1		u+1		2		u+1

	1		√x2+1 −1
=		ln
	2		√x2+1+1