Wielomiany iwv: Znaleźć wszystkie nierozkładalne wielomiany stopnia 2 nad Z₅

Adamm: Mnożąc przez odwracalną stałą dostajemy wielomian postaci x²+ax+b, a, b∊Z₅ dalej możemy zapisać środkowy współczynnik tak żeby dostać wielomian postaci x²+2ax+b = (x+a)²+b−a² przesuwając o stałą dostajemy wielomian postaci x²+c I do analizy takiej postaci wielomianów się to sprowadza. jeśli c = −a² gdzie a jest kwadratem, to x²+c = (x−a)(x+a) jest rozkładalny 0, 1, 4 są takiej postaci ale x²+2, x²+3 nie mają pierwiastków więc takiej postaci nie są − są nierozkładalne zatem wszystkie nierozkładalne wielomiany stopnia 2 nad Z₅ to wielomiany postaci (x+a)²+2 lub (x+a)²+3

jc: Rozpatrzmy wielomiany postaci x²+ax+b. Takich wielomianów jest 25. Wielomiany rozkładalne mają postać (x+p)(x+q). Takich wielomianów jest 15. Pozostaje 10 wielomianów nierozkładalnych (x+p)²+2 (x+p)²+3 p=0,1,2,3,4