. Rrr: y''−6y'+9y=3x−8e^x

Damian#UDM: Tworzymy równanie jednorodne y''−6y'+9y=0 Używamy podstawienia y=e^rx y'=r*e^rx y''=r²*e^rx Podstawiamy do naszego równania r²e^rx−6re^rx+9e^rx=0 e^rx*(r²−6r+9)=0 e^rx≠0 , (r²−6r+9=0 (r−3)²=0 |√ r=3 y=e^3x Wyznaczamy całkę ogólną równania jednorodnego y=C*e^3x Uzmienniamy stałą i tworzymy układ równań i rozwiązujemy go. Jeśli coś zepsułem to proszę poprawić Pozdrawiam

Maciess: Alternatywnie metoda przewidywań. Znajdujemy rozwiązanie ogólne r. jednorodnego, a rozwiązanie szczególne będzie sumą rozwiązań szczególnych równań 1) y''−6y'+9y=3x 2) y''−6y'+9y=−8e^x Tzn jestli φ₁ jest rozwiązaniem szczególnym 1), a φ₂ rozwiązaniem szczególnym 2) to φ=φ₁+φ₂ będzie rozwiązaniem szczególnym wyjsciowego równania.

kerajs: Całka ogólna równania jednorodnego to: y_o=C₁e^3x+C₂xe^3x Nie wpływa ona na przewidywanie całki szczególnej równania niejednorodnego: y_s=Ax+B+Ce^x Wystarczy wyliczyć współczynniki A, B i C i podać rozwiązanie jako sumę: y=y_o+y_s .

Damian#UDM: Dobra, chciałbym to do końca pociągnąć metodą uzmiennienia stałych Układ równań

⎧	C1'(x)*e3x+C2'(x)*e3x=0
⎩	3*C1'(x)*e3x+3*C2'(x)*e3x=3x−8ex

⎧	3*C1'(x)*e3x+3*C2'(x)*e3x=0
⎩	3x−8ex=0

I co dalej?

Damian#UDM: Dobra, zapomniałem o x, mój błąd

Damian#UDM: Rozumiem, że pochodną z funkcji g(x)=C₂*x*e^3x Trzeba policzyć za pomocą pochodnej iloczynu. Po przekształceniach

⎧	C1'(x)*e3x+C2'(x)*xe3x=0
⎩	C1'(x)*e3x+C2'(x)*[3xe3x+e3x]=3x−8ex

Otrzymałem

	x*(8ex−3x)
C1'(x)=
	(2x+1)*e3x

	3x−8ex
C2'(x)=
	(2x+1)*e3x

Damian#UDM: Jak obliczyć z tego całki?

Damian#UDM: Pomożecie? Bo ja nadal nie mam na to pomysłu

kerajs: Metoda uzmienniania stałych jest uniwersalną, lecz niewygodną metodą. Skoro mylisz się już przy dwóch stałych to będzie przy trzech, czterech lub większej ilości stałych? Zgubiłeś współczynnik 3 przy C₁' w drugim równaniu więc wyznaczniki, jak i ich ilorazy, są do bani. Wbrew sugestiom mariusza poznaj metodę przewidywania.

Damian#UDM: No mój błąd, nie zauważyłem Każdy robi błędy, u mnie to normalne i nie mam z tym problemu. Całe życie uczę się na błędach Ale za to 15 czerwca 11:24 zapisałem

Damian#UDM: Po poprawieniu C₁'(x)*e^3x+C₂'(x)*x*e^3x=0 3*C₁'(x)*e^3x+C₂'(x)*(3x*e^3x+e^3x)=3x−8e^x No i uzmiennione stałe

	x*(8ex−3x)
C1'(x)=
	e3x

	3x−8ex)
C2'(x)=
	e3x

I do policzenia całki

Damian#UDM:

	2x		2
C1(x)=∫(8x*e−2x−3x2*e−3x)dx = e−3x*(x2+		+		)−e−2x*(4x+2)+C1
	3		9

, C₁ ∊ R

Damian#UDM: No jak już będzie więcej niż dwa stałe to lepiej będzie metodą przewidywań, układ równań do dwóch niewiadomych jest bardzo przyjemny, tylko te całki przez części bardzo czasochłonne i wiele rachunków

Damian#UDM:

	1
C2(x)=∫(3x*e−3x−8*e−2x)dx = 4*e−2x−e−3x*(x+		)+C2 , C2 ∊ R
	3

Damian#UDM:

	x		2
y0 =		+		−ex*(4x+2)+e3x*(C1+C2*x) , C1 i C2 ∊ R
	3		9