Metoda macierzowa Damian#UDM: Rozwiąż układ równań metodą macierzową 3x+145z=−3 −3x−145z=3 −87y−10z=−6 −58y+2z=3 Da się w ogóle rozwiązać ten cały układ metodą macierzową? Widzę, że dwa pierwsze równania od razu się zerują, z czego wynika, że x i z ∊ R ? Wtedy mogę rozwiązać to metodą macierzową korzystając z równań −87y−10z=−6 −58y+2z=3 Czy jednak nie mogę? Proszę o pomoc

kerajs: ''Widzę, że dwa pierwsze równania od razu się zerują, z czego wynika, że x i z ∊ R ?'' Nie. Te równania są linowo zależne, więc JEDNO z nich można skreślić.

Damian#UDM: Czyli mogę sobie wziąć układ −3x−145z=3 −87y−10z=−6 −58y+2z=3 I rozwiązać go metodą macierzową?

kerajs: Tak. Ale owo skreślenie wynika z twierdzenia Kroneckera−Capellego więc przed rozwiązywaniem należałoby zbadać rzędy macierzy tego układu. I wyciągnąć wnioski (tu: skreślenie równania).

Damian#UDM: A co w przypadku 3x+0y+100z−t=−3 −3x+0y−100z+t=3 0x−60y−10z+t=−6 mam trzy równania i 4 niewiadome i mam to zrobić metodą macierzową.

kerajs: Tu sprawdzanie rzędów nakaże skreślenie równania drugiego (lub pierwszego) i potraktowanie niewiadomych z i t (lub tych które nie brały udziału w liczeniu rzędu) jako parametrów. Mój układ ma postać 3x=−3−100z+t −60y=−6+10z−t

Damian#UDM: Dobra, ja wrócę do tego przykładu wieczorem i będę miał pytania do tego, będę to rozwiązywał i pisał. A na razie dziękuje za wyjaśnienia

Damian#UDM: Rozumiem, że aby skorzystać z metody macierzowej to najpierw muszę sprawdzić rząd macierzy ?

kerajs: Nie wiem co rozumiesz przez metodę macierzową. (Wykorzystanie macierzy odwrotnej, wzorów Cramera, eliminacji Gaussa itd. − to metody macierzowe) . Zwykle poznaje się jedną z nich i stosuje do oznaczonych układów równań liniowych. Potem uczą określania rozwiązywalności układu (oznaczony/nieoznaczony/sprzeczny) i to właśnie sprawdza twierdzenia Kroneckera−Capellego: Jeśli rząd macierzy głównej jest mniejszy od rzędu macierzy dołączonej to układ jest sprzeczny. Jeśli rzędy są równe (tu skreślasz równania które nie brały udziału w liczeniu rzędu) i ilość niewiadomych : a) jest taka sama jak ilość (nieskreślonych) równań to układ jest oznaczony (ma 1 rozwiązanie) b) większa od ilości równań to układ jest nieoznaczony (niewiadome nie biorące udziału w liczeniu rzędu traktuje sią jak parametry)

Damian#UDM: okej, myślałem, że metoda macierzowa to tylko rozwiązywanie równania A*X=B X=A⁻¹*B Ale jak jest ich więcej to super Dobrze wiedzieć.

Damian#UDM: czyli jak mam więcej niewiadomych niż równań to najlepiej to metodą eliminacji Gaussa rozwiązać i na końcu parametry wprowadzić?

kerajs: To kwestia umowy, czy metoda macierzowa to dowolna wykorzystująca macierze, czy skrócona wersja na metodę macierzy odwrotnej. Nie ma najlepszej (jak i najgorszej) metody. W zależności od układu ta lub inna będzie bardziej efektywna. Jednak dla komputera nie ma to znaczenia. Owszem, przy stałych współczynnikach możesz stosować wyłącznie eliminację Gaussa, lecz co zrobisz gdy przy niewiadomych będzie parametr ?

Damian#UDM: Nie wiem Gdyby było tyle samo niewiadomych co równań to bym skorzystał z metody Cramera i wtedy przeprowadził dyskusję rozwiązań w zależności od parametru A w innych przypadkach to nie mam pojęcia