Rozwiąż zależność rekurencyjną niejednorodną: k0w7: Rozwiąż zależność rekurencyjną niejednorodną: a) S₀=0 S_n=2_sn−1 + n² , n≥2

Iryt: (*) S_n=2S_n−1 + n² , n≥2 x−2=0 x=2 1) S_n⁽¹⁾=A*2ⁿ S_n⁽²⁾=Bn²+Cn+D Podstawiamy do (*) Bn²+Cn+D−2*[B (n−1)²+C(n−1)+D]=n² stąd B=−1, C=−4, D=−6 S_n⁽²⁾=−n²−4n−6 2) S_n=A*2ⁿ−n²−4n−6 S(0)=0=A*2⁰−6⇔A=6 S_n=6*2ⁿ−n²−4n−6 ===================

kerajs: Jakie miłe zaskoczenie. Wreszcie zwykłe rozwiązanie, zamiast powszechnie preferowanej metody '' wypisz kilka wyrazów i sprawdź w OEIS'' lub funkcji tworzących Mariusza.

k0w7: Skąd się bierze to bn, cn i d?

kerajs: Z zastosowanej metody przewidywania.

Mila: S_n=2S_n−1 + n² S_n=2*S_n−1+f(n) f(n)=n² Przewidywana postać : S_n⁽²⁾=Bn²+Cn+D Poczytaj teorię: https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=304902

k0w7: A jeżeli f(n) byłoby równe n³ to przewidywana postać byłaby taka? Bn³+Cn+D

Iryt: f(n)=n³ a_n⁽²⁾=B*n³+C*n²+D*n+E

grzesl: Wytłumaczy ktoś krok po kroku jak sie oblicza to gdzie wyszło b= −1 c=−4 d=−6

wakacje: Bn²+Cn+D−2[B(n−1)²+C(n−1)+D]=n² Bn²+Cn+D−2[B(n²−2n+1)+Cn−C+D]=n² Bn²+Cn+D−2(Bn²−2Bn+B+Cn−C+D]=n² Bn²+Cn+D−2Bn²+4Bn−2B−2Cn+2C−2D=n² −Bn²−Cn−D+4Bn−2B+2C=n² n²(−B)+n(−C+4B)+2C−2B−D=n² porównujemy współczynniki: −B=1 ∧ 4B−C=0 ∧ 2C−2B−D=0 B=−1 ∧ C=−4 ∧ (D=2(C−B) −> D=−6)