kto mi pomoze z geometri malwa43: pomoze mi ktos z geometri? Oblicz pole trojkata BDE, jesli AB=6, AD=3, CD=CE oraz miara kata BDE wynosi 45 stopni.

daras: Wystarczy logicznie pomyśleć: BD z tw. Pitagorasa ∡ADB z funkcji trygonom. ∡CDE dopełnienie do 180^o DE z Δ równoramiennego mając kąt i 2 boki z łatwością obliczysz pole ΔBDE

chichi: Chcesz wyznaczać miarę kąta ADB? To nie jest dobry pomysł

chichi: P=7.5

Mariusz: BD = 3√5

	3
cos(∡ADC)=
	3√5

	√5
cos(∡ADC)=
	5

	2√5
sin(∡ADC)=
	5

∡EDC=180−45−∡ADC ∡EDC=135 −∡ADC

	√2		√2
cos(∡EDC)=cos(135 −∡ADC)=−		cos(∡ADC)+		sin(∡ADC)
	2		2

	√10		√2	2√5
cos(∡EDC)=−		+
	10		2	5

	√10		2√10
cos(∡EDC)=−		+
	10		10

	√10
cos(∡EDC)=
	10

	√10
cos(2∡EDC)=2(		)2−1
	10

	4
cos(2∡EDC)=−
	5

	4
cos(∡DCE)=
	5

	4
|DE|2=|CD|2+|CE|2−2|CD||CE|
	5

	8
|DE|2=|CD|2+|CD|2−		|CD|2
	5

	2
|DE|2=		|CD|2
	5

	10
|DE|2=		|CD|2
	25

	√10
|DE|=		|CD|
	5

(3+CD)²+6²=(CE+BE)² 9+6CD+CD²+36=CD²+2CDBE+BE² 45+6CD=2CDBE+BE²

BE		DE
	=
sin(45)		sin(∡EBD)

BE		sin(45)
	=
DE		sin(∡EBD)

∡EBD=135−∡BED ∡EBD = 135−(180−∡DEC) ∡EBD =∡DEC−45

BE		sin(45)
	=
DE		sin(∡DEC)cos(45)−cos(∡DEC)sin(45)

BE		1
	=
DE		sin(∡DEC)−cos(∡DEC)

	√10
cos(∡DEC)=
	10

	3√10
sin(∡DEC)=
	10

BE		1
	=
DE		√10   2   10

BE		10
	=
DE		2√10

BE		√10
	=
DE		2

	√10
BE=		DE
	2

	√10
|DE|=		|CD|
	5

|BE|=|CD| 45+6CD=2CDBE+BE² 45+6CD=2CD²+CD² 45+6CD=3CD² CD²=2CD+15 CD²−2CD−15=0 (CD−5)(CD+3) CD=5 |BD|=3√5

	5√10
|DE|=
	5

|BE|=5

	1		5√10	√2
P=		3√5
	2		5	2

	150
P=
	20

	15
P=
	2

Mariusz: "Chcesz wyznaczać miarę kąta ADB? To nie jest dobry pomysł " Może nie tyle wartość samego kąta co wartość funkcyj trygonometrycznych takich jak cos czy sin aby móc skorzystać z twierdzenia cosinusów oraz twierdzenia sinusów Dwa razy skorzystałem z twierdzenia Pitagorasa , raz z twierdzenia cosinusów , raz z twierdzenia sinusów, skorzystałem z tego że w trójkątach na płaszczyźnie suma miar kątów wynosi 180 Pewnie można by krócej obliczyć pole powierzchni tego trójkąta

fibon: miara kąta BDE

chichi: @Mariusz "Może nie tyle wartość samego kąta co wartość funkcyj trygonometrycznych takich jak cos czy sin aby móc skorzystać z twierdzenia cosinusów oraz twierdzenia sinusów" Z następnego zdania "∡CDE dopełnienie do 180^o" wynika, że dokładną wartość tego kąta

Mariusz: No to miara tego kąta nie jest potrzebna A dałoby się jakoś szybciej policzyć pole powierzchni tego trójkąta Wynik wyszedł mi taki jak twój ale podejrzewam że można to pole można policzyć szybciej

chichi: Już siadam do komputera i Ci pokaże

jc: Pole = 6*8/2 − 3*6/2 − 3*4/2 − 3*1/2 =24−9−6−3/2 = 15/2

chichi:

	1
(x+3)2+62=(2x)2 ⇒ x=5 ⇒ PΔBDE=		*5*3=7.5
	2

Mariusz: Z rysunku widać że DF jest wysokością ΔBDE spuszczoną na przedłużenie boku BE i jak policzyłeś jej długość Ja skorzystałem z innego wzoru na pole Z treści mamy że DC = CE , ale skąd wiadomo że BE = DC = CE , mnie to wyszło dopiero po obliczeniach Widzę że BD jest dwusieczną ∡ABC skąd to wziąłeś

getin: Niech kąty ∡CDE = ∡DEC = α z sumy kątów w ΔCDE mamy ∡DCE = 180^o−2α z własności ∡CDE + ∡EDB +∡ADB = 180^o α+45^o+∡ADB = 180^o ∡ADB = 135^o−α z sumy kątów w ΔABD ∡BAD + ∡ABD + ∡ADB = 180^o 90^o + ∡ABD + 135^o−α = 180^o ∡ABD = α−45^o z sumy kątów w ΔCDB ∡DCB + ∡CBD + ∡BDC = 180^o 180^o−2α + ∡CBD + 45^o+α = 180^o ∡CBD = α−45^o ∡ABD = ∡CBD, więc BD to dwusieczna kąta ABC

chichi: @Mariusz uzupełnienie kątów: |∡CDE|=|∡CED|=α ⇒ |∡DEB|=180^o−α ⇒ |∡EBD|=45^o−α |∡ADB|=135^o−α ⇒ |∡DBA|=α−45^o |∡DBA|=|∡EBD| ⇒ BD jest dwusieczną Z tw. o dwusiecznej wówczas mamy:

x		3
	=		⇒ |EB|=x
x+|EB|		6

Myślę, że teraz już wszystko jest jasne

chichi: chochlik |∡EBD|=α−45^o

chichi: A i zapomniałem dodać skąd wiem, że |DF|=3, bo pytałeś. Spójrz na ΔABD oraz ΔFBD, są przystające z cechy kąt−bok−kąt → |AD|=|DF|=3

Mariusz: Tak , teraz wszystko jest jasne Ładnie to zadanie rozwiązałeś Ja za bardzo skupiłem na tym aby wykorzystać twierdzenie cosinusów i twierdzenie sinusów (tw Pitagorasa to szczególny przypadek tw cosinusów) a do tego potrzebne było obliczenie wartości funkcji cos i sin dla odpowiednich kątów

malwa43: dziekuje juz rozumiem. mam jeszcze jedno bardzo trudne zadanie ktorego moja nauczycielka nie potrafila rozwiazac. jak wy tak rozwiazujecie to moze je tu dodam? albo zaloze nowy watek bo bardzo bym chciala zobaczyc jak je rozwiazac co wy na to?

getin: Nowe zadanie to może lepiej w nowym wątku

chichi: Ze szkolnego podręcznika?