linia siewira: Wyznaczyc osie symetrii oraz srodek linii opisanej równaniem 6xy+8y²−12x−26y+11=0

Maciess: Rozpoznajesz co to za krzywa?

siewira: Strzelam ze elipsa albo hiperbola ale nie wiem jak to sprawdzic i zrobic to zadanie

Maciess: Też tak obstawiam, przydałoby się wprowadzić jakiś nowy układ współrzędnych zgrabny żeby to lepiej zobaczyc.

chichi: Ta krzywa to hiperbola, później mogę Ci pokazać jak to zrobić

siewira: czy pomoze mi ktos?

Maciess: Ja bym najpierw przesunął układ współrzędnych (tak żeby pozbyć się wyrazów −12x i −26y) x=x'+a y=y'+b Dzięki temu ułozysz układ równań, żeby wspołczynnik przy x i y się wyzerował i otrzymasz równanie postaci Ax²+Bxy+Cy²=1 Lewą strone potrafimy zapisać w postaci

	A B/2 B/2 C	x y
(x y)

No i teraz dzięki dobrodziejstwom twierdzenia spektralnego i odrobinie magii diagonalizujesz tę macierz. v₁ i v₂ będące znormalizowanymi wektorami własnymi (odpowiadające wartościom własnym) utworzą osie nowego układu (pamiętająć, że twój już jest przesunięty) i będą też osiami symetrii otrzymanej hiperboli (bądź elipsy).

jc: Hiperbola opisana jest równaniem 2(3x+4y−5)(y−2)=9 Osiami symetrii będą dwusieczne asymptot: 3x+4y=5, y=2. Kierunki asymptot: (1, 0), (4/5, −3/5) Kierunki dwusiecznych: suma i różnica. Dokończ sam. Dodam, że przesunięcie znalazłem przyrównując pochodne cząstkowe do zera.

chichi: Niech f(x,y)=6xy+8y²−12x−26y+11 | 0 6 −12 | W = | 6 16 −26 | = 648 ∧ Δ = B²−4AC = 36 → krzywa jest hiperbolą | −12 −26 22 | Środek symetrii hiperboli:

⎧	fx(x,y)=0
⎩	fy(x,y)=0

⎧	6y−12=0
⎩	6x+16y−26=0

⎧	x=−1
⎩	y=2

S=(−1, 2) Równania asymptot hiperboli:

	1
Bm2+2(A−C)m−B=0 ⇔ 6m2−16m−6=0 ⇒ m=−		∨ m=3
	3

	1
Dla m=−		mamy:
	3

	1
fx(x,y)+mfy(x,y)=0 ⇔ 6y−12−		(6x+16y−26)=0 ⇒ 2y−6x−10=0
	3

Dla m=3 mamy: f_x(x,y)+mf_y(x,y)=0 ⇔ 6y−12+3(6x+16y−26)=0 ⇒ x+3y−5=0

chichi: Wrzuć teraz wszystko do GeoGebry i sprawdź czy działa

siewira: a skad brac te A B C D i co to jest W

chichi: f(x,y)≡Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0 | 2A B D | W= | B 2C E | | D E 2F |