calka ozaz: nie mam pomysłu na tą calke nieoznaczona

	x2+1
∫		dx
	x4+1

wakacje: x⁴+1=x⁴+2x²+1−2x²=(x²+1)²−(√2x)²=(x²−√2x+1)(x²+√2x+1)

	x2+1
∫		dx
	(x2−√2x+1)(x2+√2x+1)

x2+1		Ax+B		Cx+D
	=		+
(x2−√2x+1)(x2+√2x+1)		x2−√2x+1		x2+√2x+1

x²+1=(Ax+B)(x²+√2x+1)+(Cx+D)(x²−√2x+1) x²+1=Ax³+A√2x²+Ax+Bx²+B√2x+B+Cx³−C√2x²+Cx+Dx²−D√2x+D 0=B+D x²+1=x³(A+C)+x²(A√2+B−C√2+D)+x(A+B√2+C−D√2)+B+D ⇒ A+C=0 ∧ A√2+B−C√2+D=1 ∧ A+B√2+C−D√2=0 ∧ B+D=1

	1		1
(A,B,C,D)=(0,		,0,		)
	2		2

x2+1		1   2		1   2
	=		+
(x2−√2x+1)(x2+√2x+1)		x2−√2x+1		x2+√2x+1

x2+1		1		1		1		1
	=		*		+		*
(x2−√2x+1)(x2+√2x+1)		2		x2−√2x+1		2		x2+√2x+1

Wracamy do całki:

	x2+1
∫		dx=
	x4+1

	1		1		1		1
=∫(		*		+		*		)dx=
	2		x2−√2x+1		2		x2+√2x+1

	1		1		1		1
=		∫		dx+		∫		dx=
	2		x2−√2x+1		2		x2+√2x+1

	1		1		√2		1
x2−√2x+1=(x2−√2x+		)−		+1=(x−		)2+
	2		2		2		2

	√2		1
x2+√2x+1=(x+		)2+
	2		2

	1		1		1		1
=		∫		dx+		∫		dx
	2		√2   1   (x− )2+   2   2		2		√2   1   (x+ )2+   2   2

Policzę tylko jedną całkę:

	1
∫		dx=
	√2   1   (x− )2+   2   2

	√2
u=x−
	2

du=dx

	1
=∫		du=
	1   u2+   2

	1		2		2
=∫		du=		arctan(		u)+C=
	√2   u2+( )2   2		√2		√2

=√2arctan(√2u)+C=

	√2
=√2arctan(√2*(x−		))+C=
	2

=√2arctan(√2x−1)+C Druga analogicznie: ...=√2arctan(√2x+1)+C Wracam do całki:

	x2+1		1		1
∫		dx=		*√2arctan(√2x−1)+		*√2arctan(√2x+1)+C=
	x4+1		2		2

	√2		√2
=		arctan(√2x−1)+		arctan(√2x+1)+C
	2		2

Pewnie jest jakaś łatwiejsza metoda

Filip:

	x2+1		1   1+   x2		1   1+   x2
∫		dx=∫		dx=∫		dx
	x4+1		1   x2+   x2		1   (x− )2+2   x

	1
t=x−
	x

	1
dx(1+		)=dt
	x2

	dt		1		t		1		x2−1
∫		=		arctan		+c=		arctan		+c
	t2+2		√2		√2		√2		x√2

ozaz: ooo no bez tego przeksztalcenia i podstawienia sprytnego Filipa dluga faktycznie,dziekuje za obie wersje.

Mariusz: Dam wam do policzenia następujące całki

	x2−1
∫		dx
	(x2+1)√x4+1

	x2
∫		dx
	(1−x4)√x4+1

Filip: Ok

Mariusz: Filip , ja już policzyłem te całki i mogą być wyrażone za pomocą skończonej liczby funkcyj elementarnych Masz na nie jakiś pomysł ?

Julka: Photomath fajnie rozpisuje

daras: Julka