stosunek czarna: Udowodnij, że w dowolnym trójkącie stosunek najmniejszej wysokości do najmniejszej dwusiecznej kąta jest większy niż 1/√2.

getin: ogólnie to najkrótsza wysokość i najmniejsza dwusieczna wychodzą z największego kąta trójkąta 1) dla ostrokątnego kąt ACB = 2α (największy kąt trójkąta) d = |CE| najkrótsza dwusieczna h = |CD| najkrótsza wysokość zatem 2α>60^o (bo największy kąt) oraz 2α<90^o (bo ostrokątny) więc α>30^o oraz α<45^o (inaczej 30^o<α<45^o)

	h		1
Trzeba udowodnić że		>
	d		√2

1		√2
	=
√2		2

Niech kąt DEC = β, wtedy kąt DEC = 90^o−β, oraz kąt CEB = 180^o−β więc kąt EBC = β−α

	h
w ΔDEC: sinβ =
	d

	√2
Ponieważ		= sin45o, to trzeba pokazać że β > 45o i będzie udowodnione
	2

Niech kąt ACD = γ Kąt ACD + kąt DCE = α γ + 90⁰−β = α γ = α+β−90^o γ>0^o α+β−90^o>0^o α+β>90^o jeśli 30^o<α<45^o, to β>45^o koniec dowodu dla Δ ostrokątnego

getin: 2) dla trójkąta prostokątnego (kąt ACB = 90^o) czyli dla α = 45^o kąt EBC = β−α = β−45^o β−45^o > 0^o β > 45^o udowodnione

getin: 3) dla trójkąta rozwartokątnego 2α>90^o α>45^o β−α>0^o β>α jeśli α>45^o oraz β>α to β>45^o koniec dowodu dla Δ rozwartokątnego