równosc Pati: W trójkacie ABC kąt ABC oraz ACB wynoszą po 40^o. Niech dwusieczna kąta ABC przecina AC w punkcie D. Wykaż że BC = BD + AD.

getin: Trzeba udowodnić że a=y+x twierdzenie sinusów dla ΔBDA (1) i ΔBCD (2)

	c		y		x
1)		=		=
	sin60o		sin100o		sin20o

	a		y		c−x
2)		=		=
	sin120o		sin40o		sin20o

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 1)

	y*sin60o
c =
	sin100o

2)

	y*sin20o
c−x =
	sin40o

	y*sin20o
c =		+ x
	sin40o

zatem

y*sin20o		y*sin60o
	+ x =
sin40o		sin100o

	y*sin60o		y*sin20o
x =		−
	sin100o		sin40o

2)

	y*sin120o
a =
	sin40o

Wstawiając to do a=y+x, otrzymujemy

y*sin120o		y*sin60o		y*sin20o
	= y +		−
sin40o		sin100o		sin40o

dzielimy obustronnie przez y

sin120o		sin60o		sin20o
	= 1 +		−
sin40o		sin100o		sin40o

sin120o		sin20o		sin60o
	+		= 1 +
sin40o		sin40o		sin100o

sin120o		sin20o		sin100o		sin60o
	+		=		+
sin40o		sin40o		sin100o		sin100o

sin120o+sin20o		sin100o+sin60o
	=
sin40o		sin100o

	α+β		α−β
w licznikach wykorzystujemy wzór sinα+sinβ = 2sin		*cos
	2		2

120o+20o   120o−20o   2sin *cos   2   2
	=
sin40o

	100o+60o   100o−60o   2sin *cos   2   2
	sin100o

2sin70o*cos500		2sin80o*cos20o
	=
sin40o		sin100o

w mianownikach korzystamy ze wzorów odpowiednio sin(90⁻α) = cosα oraz sin(90^o+α) = cosα

2sin70o*cos500		2sin80o*cos20o
	=
sin(90o−50o)		sin(90o+10o)

2sin70o*cos500		2sin80o*cos20o
	=
cos50o		cos10o

	2sin80o*cos20o
2sin70o =
	cos10o

dzielimy obustronnie przez 2

	sin80o*cos20o
sin70o =
	cos10o

dla sin80^o korzystamy ze wzoru sin(90^o−α) = cosα

	sin(90o−10o)*cos20o
sin70o =
	cos10o

	cos10o*cos20o
sin70o =
	cos10o

sin70^o = cos20^o sin(90^o−20^o) = cos20^o cos20^o = cos20^o L = P co oznacza że przekształcana równość a = y+x jest prawdziwa

Mila: getin, trochę skrócę Twoje rozwiązanie. Wykorzystuję drugą dwusieczną. 1) W ΔABD:

b		x		d
	=		=
sin60o		sin20o		sin100o

	2bsin20o		2bsin100o
x=		: d=
	√3		√3

2) w ΔBEA:

	a		a
sin50o=		⇔2b=
	2b		sin50o

3) Z (1) i (2):

	2bsin20o		2bsin100o
x+d=		+
	√3		√3

	2b
x+d=		*(sin20o+sin100o)
	√3

	a		sin20o+sin100o		a		2 sin60o*cos40o
x+d=		*		=		*
	√3		sin50o		√3		sin50o

x+d=a ===== II sposób

Mila: 1) |BE|=|BD|=d Z tw. o dwusiecznej kąta :

b		a		y		a
	=		⇔		=
x		y		x		b

2) ΔDEC∼ΔBCA⇔

y		a
	=
|EC|		b

y		y
	=		⇔
|EC|		x

|EC|=x⇔ |BC|=|BD|+|AD| ===============

getin: I to jest właśnie geometria, ktoś wie co dorysować i ma rozwiązanie w kilku linijkach. Mila − szacunek za rozwiązania, szczególnie za ten II sposób. Nigdy w życiu bym na to nie wpadł. Pozdrawiam

Mila: Rozwiązuj zadania. Czasem się wpada a czasem nie. Dobrze, że starasz się rozwiązać