Całka Itama: Oblicz

	x2 − 5x + 6		1
∫13 (arctg (		) + arctg (		) ) dx
	x3 − 6x2 +12x −7		x2 − 4x +4

Mariusz: Policz każdą całek

	x2−5x+6
∫13arctg(		)dx
	x3−6x2+12x−7

	1
∫13arctg(		)dx
	x2−4x+4

przez części różniczkując arcusa tangensa Całki które otrzymasz dodaj do siebie a funkcja podcałkowa powinna się uprościć

Itama: Dzieki a z tą?

	x4		2x
∫−11		arccos		dx
	1−x4		1+x2

Mariusz: Przedstaw funkcję podcałkową w postaci sumy funkcji parzystej i nieparzystej

	f(x)+f(−x)		f(x)−f(−x)
f(x)=		+
	2		2

	x4		2x
gdzie f(x)=		arccos(		)
	1−x4		1+x2

	f(x)+f(−x)
wtedy		będzie funkcją parzystą
	2

	f(x)−f(−x)
a		będzie funkcją nieparzystą
	2

ostatecznie otrzymasz do policzenia całkę ∫₀¹(f(x)+f(−x))dx

	x4		2x
gdzie f(x)=		arccos(		)
	1−x4		1+x2

Mariusz: Chociaż w tej ostatniej całce zbadanie zbieżności powinno wystarczyć

piotr:

	α+β
arctgα+arctgβ=arctg(		)
	1−αβ

⇒

	1		1
∫13arctg(		) = ∫−11arctg(		)=0 (funkcja nieparzyta)
	x−2		x

Mariusz: piotr czy aby na pewno ten wzorek na sumę arcusów jest poprawny bo ja też próbowałem go użyć i wyszedł mi błędny wynik Licząc w sposób który podałem wcześniej wyszedł poprawny wynik Teraz przejrzałem tablice i okazało się że ten wzorek na sumę arcusów jest zdefiniowany kawałkami

jc: Mamy wzory:

	p+q
arctg p + arctg q = arctg
	1−pq

arctg 1/r = π/2 − arctg r otrzymamy całkę z funkcji = π/2 − arctg(2−x) Z tym sobie poradzisz.

jc: Mariusz, tak kawałkami, ale poprosiłem komputer o wykres i rozpatrywanym przedziale się zgadza.

jc: Chodziło o mój wzór, teraz zobaczyłem wzór piotra. Wynik to chyba π, nie zero (drugi składnik daje faktycznie zero).

Mariusz: Fajnie tylko wynikiem nie będzie zero jak to sugeruje piotr (tak ja sprawdziłem swój wynik nawet dwoma programami komputerowymi) Jeśli koniecznie chcesz skorzystać z tego wzorku to musisz rozwiązać nierówność a następnie dzielisz przedział całkowania w zależności od tego co wyjdzie po rozwiązaniu tej nierówności

Mariusz: no tak ale i tak trzeba to pokazać że wybrałeś dobry kawałek , wątpię czy mu pozwolą to sprawdzić programem komputerowym

Mariusz: Wpis jc pokazuje że można dostać poprawny wynik pomimo błędnych obliczeń

jc: Mariusz, obliczenia nie były błędne. Zdając sobie sprawę z tego, co napisałeś o przedziałach, sprawdziłem, czy wzór jest poprawny prosząc komputer o narysowanie wykresu w rozpatrywanym przedziale.

Mariusz:

	p+q
Dla jakiego przedziału stosujesz wzór arctg p + arctg q = arctg		?
	1 −pq

Co z możliwym dzieleniem przez zero ? Obydwa podane przez ciebie wzorki są zdefiniowane kawałkami i aby je poprawnie zastosować trzeba podzielić przedział Akurat tutaj jeden podział wystarczy aby wybrać odpowiednie kawałki jc to podaj podane przez siebie wzory ze wszystkimi przypadkami (wg tablic których używam pierwszy wzór wymaga trzech przypadków a drugi wzór dwóch przypadków) Nie twierdzę że stosowanie wzoru na sumę arcusów tangensów jest błędne tylko że jeśli już go stosujemy to musimy go stosować poprawnie Wzór na sumę arcusów stosujemy następująco Rozwiązujemy nierówność zgodnie z którą został on podzielony na przypadki W zależności od rozwiązania nierówności dzielimy przedział całkowania na przedziały Bez podziału przedziału całkowania powinieneś otrzymać wynik ten sam co piotr " Zdając sobie sprawę z tego, co napisałeś o przedziałach, sprawdziłem, czy wzór jest poprawny prosząc komputer o narysowanie wykresu w rozpatrywanym przedziale." Tak tyle że ja poprosiłem komputer o rozwiązanie nierówności zgodnie z którą wzór na sumę arcusów został podzielony na przypadki i wyszło że przedział należy jednak podzielić Nie umiecie przyznać się do błędu

Mariusz:

	x2−5x+6		1
Itama: co do całki ∫13(arctg(		)+arctg(		))dx
	x3−6x2+12x−7		x2−4x+4

to jeśli przedstawisz na uczelni obliczenia przedstawione przez piotra czy jc to zostaniesz nagrodzony oceną niedostateczną

Mariusz: Ten wzorek który podaliście nie może być prawdziwy dla każdego p oraz q

	π		π
chociażby dlatego że zbiorem wartości arcusa tangensa jest przedział [−		;		]
	2		2

Jeśli dodamy te dwa arcusy to otrzymamy liczbę z przedziału [−π;π] więc w przypadku waszej równości zbiór wartości lewej strony będzie to przedział [−π;π]

	π		π
a prawej [−		;		] z tego wynika że wzorek nie może być prawdziwy
	2		2

dla każdego p oraz q

	x2−5x+6
Gdybyśmy się ograniczyli do rozłożenia funkcji arctg(		)
	x3−6x2+12x−7

na różnicę arcusów to wasz wzorek byłby poprawny dla rozpatrywanego przedziału

	x2−5x+6		1
∫13arctg(		+arctg(		)dx=
	x3−6x2+12x−7		x2−4x+4

	1
∫13arctan(x2−4x+4)−arctan(x−2)+arctan(		)dx=
	x2−4x+4

	1
∫13(arctan(x2−4x+4)+arctan(		))dx−∫13arctan(x−2)dx
	x2−4x+4

Teraz ten drugi wzór podany przez jc zadziała i otrzymamy

	π
∫13(arctan(x2−4x+4)+		−arctan(x2−4x+4))dx−∫13arctan(x−2)dx
	2

zatem otrzymamy

π
	∫13dx−∫13arctan(x−2)dx
2

W tej drugiej całce zastosujmy podstawienie t=x−2

π
	∫13dt−∫−11arctan(t)dt
2

Pierwsza całka wynosi π a druga 0 bo jest całkowana funkcja nieparzysta na przedziale symetrycznym względem zera ostatecznie

	x2−5x+6		1
∫13arctg(		+arctg(		)dx=π
	x3−6x2+12x−7		x2−4x+4

aby uzasadnić ten rozkład powinieneś pokazać że te nierówności zgodnie z którymi wzór na różnicę arcusów zostały podzielone na przypadki są spełnione dla rozpatrywanego przedziału

Mariusz: jc no dobra twoje obliczenia nie musiały być błędne a jeśli chodzi o twój wpis z 3 cze 2021 21:15 to problem z nim jest taki że wypisałeś wzorki ale nie napisałeś jak chcesz ich użyć więc założyłem że chcesz ich użyć tak jak piotr stąd to moje stwierdzenie że twoje obliczenia były błędne Gdybyś przedstawiał swoje pomysły precyzyjniej nie byłoby takich nieporozumień