zadanko MilEta: 1, 2, 3, 6, 8, 15 jaka kolejna liczba?

kerajs: >> dowolna

Filip: 1, 2, 3, 12, 123, 499, 501, 2039, jaka KOLEJNA liczba?

MilEta: naturalna!

Filip: a NIE, bo 2040.0

kerajs: >> także dowolna

an: 1,2,3,6,8,15,19,34... a_n=3a_n−2 − 2a_n−4+1 dla n>4

akeb: 1, 2, 3, 6, 8, 15, X a(n)=An⁶+Bn⁵+Cn⁴+Dn³+En²+Fn+G Wystarczy rozwiązać układ równań liniowych a(0)=1 a(1)=1 a(2)=3 a(3)=6 a(4)=8 a(5)=16 a(6)=X aby wyliczyć A,B,C,D,E,F i G

Filip: oblicz: 2x−5=7−x

Mariusz: To równanie rekurencyjne można też rozwiązać funkcją tworzącą A(x)=∑_n=0^∞a_nxⁿ ∑_n=4^∞a_nxⁿ=∑_n=4^∞3a_n−2xⁿ+∑_n=4^∞−2a_n−4xⁿ+∑_n=4^∞xⁿ ∑_n=4^∞a_nxⁿ=3x²(∑_n=4^∞a_n−2xⁿ⁻²)−2x⁴(∑_n=4^∞a_n−4xⁿ⁻⁴)

	x4
+
	1−x

∑_n=4^∞a_nxⁿ=3x²(∑_n=2^∞a_nxⁿ)−2x⁴(∑_n=0^∞a_nxⁿ)

	x4
+
	1−x

∑_n=0^∞a_nxⁿ−1−2x−3x²−6x³=3x²(∑_n=0^∞a_nxⁿ−1−2x)

	x4
−2x4(∑n=0∞anxn)+
	1−x

	x4
A(x)−1−2x−3x2−6x3=3x2(A(x)−1−2x)−2x4A(x)+
	1−x

	x4
A(x)(1−3x2+2x4)=1+2x+3x2+6x3−3x2−6x3+
	1−x

	x4
A(x)(1−3x2+2x4)=1+2x+
	1−x

	(1+2x)(1−x)+x4
A(x)(1−3x2+2x4)=
	(1−x)

	1+x−2x2+x4
A(x)=
	(1−3x2+2x4)(1−x)

	1+x−2x2+x4
A(x)=
	(1−x2)(1−2x2)(1−x)

	1+x−2x2+x4
A(x)=
	(1+√2x)(1−√2x)(1+x)(1−x)2

Teraz funkcja tworząca jest funkcją wymierną więc można ją rozłożyć na sumę szeregów geometrycznych i ich pochodnych

1+x−2x2+x4
	=
(1+√2x)(1−√2x)(1+x)(1−x)2

A		B		C		D		E
	+		+		+		+
1+√2x		1−√2x		1+x		1−x		(1−x)2

Macierz odwrotna do macierzy układu to 4A⁻¹= 2−√2 2−2√2 4−2√2 4−4√2 8−4√2 2+√2 2+2√2 4+2√2 4+4√2 8+4√2 −1 1 −1 1 −1 −1 −3 −5 −7 −9 −2 −2 −2 −2 −2