analiza Karol: Kilka pytań z analizy matematycznej 1. Czy każdy ciąg zbieżny posiada conajmniej 2 punkty skupienia? 2. jesli f'(x₀) =0 i f''(x₀) = 1 to f ma min. lokalne w x₀ ? 3. jeśli f'(x₀)=0, to f ma ekstremum lokalne w x₀? 4. Czy jeśli ciąg a_n jest zbieżny, to szereg (−1)ⁿ⁺¹ *a_n tez jest zbiezny?

I'm back: 1) absolutnie nie 2) tak 3) niekoniecznie (może być punkt przegięcia) 4) niekoniecznie, niech a_n = (−1)ⁿ⁺¹ * (1/n)

Karol: Dzięki!

Karol: Miałbym jeszcze parę pytań do których odpowiedzi mam wątpliwość : 5 ) Każdy ciąg liczb rzeczywistych spełnia warunek ∀_ε>0 ∃_n0∊_ℕ ∀_n,m∊ℕ |a_m−a_n| < ε 6) Jeśli ciąg x_n jest ciągiem ograniczonym, to czy jego granica dolna jest [P[kresem dolnym]] zbioru punktów skupienia x_n? 7 ) 6) Jeśli ciąg x_n jest ciągiem ograniczonym, to czy jego granica górna jest elementem największym zbioru punktów skupienia x_n?

Karol: 8 ) Czy jeśli dla funkcji ciągłej z liczb rzeczywistych do liczb rzeczywistych mamy lim_x→a f(x) = +∞, to prosta y=a jest asymptotą poziomą tej funkcji?

Karol: 9 ) czy jeśli istnieje ciągła funkcja ℛ→ℛ dla dowolnych x<y , to istnieje c ∊[f(x),f(y)] i takie d ∊ [x,y], że f(d)=c?

wredulus_pospolitus: 5) każdy ciąg ZBIEŻNY spełnia tenże warunek ... tenże warunek to nic innego jak Definicja Cauchy'ego zbieżności ciągu z oczywistych względów −−− ciąg który nie jest zbieżny nie będzie spełniał tegoż warunku 6) co to znaczy 'dolna granica' 7) analogiczne pytanie

wredulus_pospolitus: 8) jak już to x = a by mogła być asymptotą 9) tak jest to ogólniejsza wersja twierdzenia Darboux <−−− zapoznaj się z nim

wredulus_pospolitus: jeszcze wrócę do (4) to, że ciąg jest zbieżny (ale nie wiemy do czego) to za mało aby szereg (−1)ⁿ⁺¹ mógł być zbieżny: niech a_n = 1 .... szereg (z oczywistych względów) nie jest zbieżny

Karol: granice górną rozumiem jako lim_n→∞sup x_n i dolną analogicznie jako lim_n→∞inf x_n

Karol: największy punkt skupienia ciągu i odwrotnie

wredulus_pospolitus: to wtedy oczywiście nie ... kres górny nie musi być równy górnej granicy np.

	1
xn = (−1)n+1(		+ 1)
	n

A = {x_n}_n=1 ^∞ sup(A) = x₁ = 2 lim_n−>∞ sup(x_n) = 1 "łopatologicznie" kres górny ciągu −−− to najmniejsza liczba która jest nie mniejsza od jakiegokolwiek wyrazu ciągu granica górna −−− to największa liczba, dla której możliwe jest wybranie podciągu zbieżnego

wredulus_pospolitus: dla każdego ciągu malejącego mamy: x₁ −−−− kres górny g (granica ciągu) = jedyny punkt skupienia −−−−> granica górna (ale i dolna ... oraz kres dolny)

wredulus_pospolitus: malejącego, zbieżnego

Karol: Czyli jak dobrze rozumiem , dla 6) odpowiedź to "nie", a dla 7) to "tak"? Bardzo dziękuję za obszerne wyjaśnienie

wredulus_pospolitus: nie ... ani jedno ani drugie NIE MUSI być prawdą dla podanego przykładu jeden podpunkt był prawidziwy. ale już dla a_n = (−1)ⁿ(1/n) żaden nie będzie prawdziwy