Znajdź pierwiastek trzykrotny dla wielomianu z parametrem Null: Treść zadania: Dany jest wielomian W(x) = (2x − k) * [(k + 3)x² − 4x + k], gdzie k ≠ −3. Wyznacz wartość k tak, aby wielomian W(x) miał pierwiastek trzykrotny. Jaki to pierwiastek? Jak to rozwiązać?

wredulus_pospolitus: skoro pierwiastek ma być TRZYKROTNY, a już widzimy od razu jaki to będzie pierwiastek −−− masz przecież (2x−k) więc pierwiastek to x = k/2 więc W(x) = a(x − k/2)³ gdzie 'a' to stała wymnażasz i wyznaczasz ile musi być równe 'a' i 'k' żeby to się 'trzymało kupy'

chichi: Inny sposób: Jeśli ma być 2 krotnym, to trójmian kwadratowy w nawiasie musi posiadać jeden pierwiastek dwukrotny, zatem Δ=0, stąd otrzymasz zapewne dwie wartości k i sprawdź co się dla nich dzieje

chichi: Jeśli ma być 3 krotnym*

wakacje:

	k
z tej postaci jesteśmy od razu w stanie odczytać o jaki pierwiastek chodzi, jest to x=
	2

	k
aby wielomian W(x) miał pierwiastek trzykrotny (x=		), to równanie (k+3)x2−4x+k=0 musi
	2

	k
mieć jedno rozwiązanie (Δ=0, wtedy pierwiastek dwukrotny), również x=
	2

nadajemy odpowiednie warunki: 1^o k+3≠0 2^o Δ=0

	k
3o f(		)=0, gdzie f(x)=(k+3)x2−4x+k
	2

z pierwszego warunku: k∊R\{−3} z drugiego warunku: Δ=16−4k(k+3)=−4k²−12k+16=−4(k+4)(k−1) Δ=0 ⇔ k∊{−4,1} z trzeciego warunku:

	k		k2		k		k2(k+3)−4k		k(k+4)(k−1)
f(		)=(k+3)		−4		+k=		=
	2		4		2		4		4

	k
f(		)=0 ⇔ k∊{−4,0,1}
	2

bierzemy część wspólną k∊R\{−3} ∧ k∊{−4,1} ∧ k∊{−4,0,1} k∊{−4,1}

wredulus_pospolitus: @wakacje −−− ale po co sobie komplikować sytuację skoro (k+3)x² − 4x + k = a(x − k/2)²

	ak2
a(x− k/2)2 = ax2 − akx +		= (k+3)x2 − 4x + k
	4

stąd: k+3 = a 4 = a*k = (k+3)*k −−−> k² + 3k − 4 = 0 −−−> (k+4)(k−1) = 0

	ak2
i ewentualnie dla sprawdzenia: k =		−−> ak2 = 4k −−> ak = 4 czyli równanie powyżej
	4

chichi: f(x)=(k+3)x²−4x+k Δ=0 ⇔ (−4)²−4(k+3)k=0 ⇒ k=−4 ∨ k=1 Dla k=−4: (2x+4)(−x²−4x−4)=−2(x+2)³ − OK Dla k=1: (2x−1)(4x²−4x+1)=(2x−1)³ − OK

Null: Dzięki, pomogły mi zwłaszcza dwie pierwsze odpowiedzi.