Równania różniczkowe Damian#UDM: Równania różniczkowe 1. zadanie Rozwiąż równanie y' − 3y = e^3x , y(0)=1 y'=^dy_dx ^dy_dx−3y=e^3x | *dx dy −3ydx=e^3xdx dy=[e^3x+3y]dx | ∫ ∫dy=∫[e^3x+3y]dx y=¹₃e^3x+3xy+C y−3xy=¹₃e^3x+C y*(1−3x)=¹₃e^3x+C | : (1−3x)

	e3x+C
y=		− całka ogólna
	3(1−3x)

y=1 , x₀=0

	e0+C
1=
	3(1−0)

C=3−1=2

	e3x+2
y=		− całka szczególna
	3−9x

Czy jest ok ?

wredulus_pospolitus: wybacz, ale to jakieś brednie są ∫ 3y dx ≠ 3yx zauważ, że y to de facto y(x) .... niech y(x) = x² czy prawdą jest, że x³ = ∫ 3x² dx = ∫ 3y(x) dx = 3y(x)*x = 3x³

Filip: to TY piszesz BREDNIE, bo ∫3y dx = 3yx KEK

wredulus_pospolitus: druga sprawa ... wyszedł Ci 'jakiś' wynik, czy go sprawdziłeś?

	3e3x(3−9x) + 9e3x + 18
y' =
	(3−9x)2

	3e3x(3−9x) + 18(3−9x)
3y =
	(3−9x)2

no jakoś średnio mi wychodzi, że y'−3y = e^3x , nie sądzisz

wredulus_pospolitus: @Filip ... błagam Cię

ICSP: Zacznij od ustalenia jaki to typ równania. Potem stosujesz sposób rozwiązania właściwy dla danego typu.

Damian#UDM:

	e3x+2
3y=
	1−3x

	e3x(1−3x)+e3x+2		e3x+2
y' =		=e3x+
	1−3x		1−3x

y'−3y=e^3x

	e3x+2		e3x+2
e3x+		−		=e3x
	1−3x		1−3x

e^3x=e^3x L=P Jak podstawie do równania to jest ok

wredulus_pospolitus: @Filip równość zachodziłaby tylko i wyłącznie w przypadku gdyby zmienna 'y' nie była zależna od zmiennej 'x' co nie ma miejsca w tym przypadku ponieważ: I. nie zachodziłaby równość (lewa strona "nie ma nic z x'sem" więc nie może być równa e^3x)

	dy
II. masz pięknie napisane: y' =		<−− czyli 'y' jest funkcją zależną od zmiennej 'x'
	dx

wredulus_pospolitus: Damian −−− ciekawie i BARDZO NIEPRAWIDŁOWO liczysz pochodną

wredulus_pospolitus:

	e3x(1−3x) + (e3x+2)*9
y' =
	(1−3x)2

wredulus_pospolitus: poprawka ... nie 9 tylko 3 w liczniku ... ale to nie zmienia kwestii, że błędnie policzona pochodna

wredulus_pospolitus: druga sprawa starasz się tutaj liczyć (3y)' = 3y', a nie y'

Damian#UDM: No zapomniałem o kwadracie na dole, znowu późne liczenie nie pomogło

wredulus_pospolitus: nie tylko o kwadracie ... jeszcze jest kwestia stałych których Ci brakuje ... ale pa licho z nimi "klu" całego rozwiązania to napisanie ∫ 3y(x) dx = 3y(x)*x co jest wierutną bzdurą i widząc to profesor złapałby się za głowę

wredulus_pospolitus: jak ja bym to równanie rozwiązał: y' − 3y = e^3x //*e^−3x e^−3xy' − 3e^−3x*y = 1 zauważ, że lewa strona to nic innego jak pochodna iloczynu: u*v' + u' *v gdzie u = e^−3x −−> u' = −3e^−3x v = y −−−> v' = y' więc mamy: (e^−3x*y)' = 1 −−−> e^−3xy = x + C −−> y = xe^3x + Ce^3x i jedziesz z warunkiem początkowym

Mariusz: y' − 3y = e^3x , y(0)=1 To jest równanie liniowe możesz rozwiązywać je rozdzielając zmienne w równaniu jednorodnym a następnie rozwiązać niejednorodne uzmiennieniem stałych Możesz też zauważyć że lewa strona równania bardzo przypomina wzór na pochodną iloczynu Wystarczyłoby pomnożyć równanie przez nieznaną funkcję i porównać lewą stronę równania z wzorem na pochodną iloczynu y' − 3y = e^3x , y(0)=1 y' − 3y=0 y'=3y

y'
	=3
y

dy
	=3dx
y

ln|y|=3x+C₁ |y|=e^C₁e^3x y=±e^C₁e^3x y=C₂e^3x y(x)=C(x)e^3x y' − 3y = e^3x C'(x)e^3x+3C(x)e^3x−3C(x)e^3x=e^3x C'(x)e^3x=e^3x C'(x)=1 C(x)=x Całka szczególna równania niejednorodnego to y_s=xe^3x Całka ogólna równania jednorodnego to y_j =Ce^3x Całka ogólna równania niejednorodnego jest sumą całki ogólnej równania jednorodnego oraz całki szczególnej równania niejednorodnego y=Ce^3x+xe^3x Ponieważ jest to zagadnienie Cauchego to wstawiamy warunek początkowy do całki ogólnej równania niejednorodnego aby obliczyć stałą y' − 3y = e^3x , y(0)=1 Wstawiając warunek początkowy do całki ogólnej równania niejednorodnego otrzymujemy 1=C zatem y=e^3x+xe^3x Gdyby kerajsy nie przeszkadzały to już jakiś czas temu bym ci poćwiczył z tobą rozwiązywanie takich równań niby dali ci książki i co przeczytałeś je ?

wredulus_pospolitus: alternatywą do ogólnej wersji postępowania pokazaną przez Mateusza byłoby wykorzystanie równania charakterystycznego do trochę (ale nieznacznie) szybszego wyznaczenia rozwiązania ogólnego równania jednorodnego. y'−3y = 0 r − 3 = 0 −−−> r = 3 −−−> y = C*e^3x

Damian#UDM: Bardzo fajne sposoby. Wczoraj zacząłem naukę z materiałami lecz widzę, że to jeszcze jest za trudne. Lecz powoli i do tego dojdę Dziękuje wam za pomoc Mariusz książek nie przeczytałem i pewnie wszystkich nie przeczytam lecz na pewno do nich zajrzę i poszukam wiedzy oraz sposobów rozwiązań. Mam dwa fajnie przygotowane pliki z pewnych studiów i powoli się uczę Na pewno będę korzystał z waszej pomocy. Dziękuję! Wszystkiego najlepszego życzę wszystkim mamom pracującym tutaj!

Damian#UDM: 2. Zadanie Rozwiązać równanie y'' + 5y' + 6y = x + 1 Jak to rozwiązać?

Mariusz: Najpierw jednorodne y''+5y'+6y = 0 Jeśli wstawisz do równania y=e^λx to otrzymasz dwie całki szczególne równania jednorodnego Jeśli chodzi o całkę szczególną równania niejednorodnego to zakładasz że jest ona postaci y_s=C₁(x)e^−3x+C₂(x)e^−2x i rozwiązujesz taki układ równań e^−3xC₁'(x)+e^−2xC₂'(x)=0 −3e^−3xC₁'(x)−2e^−2xC₂'(x)=x+1 Po rozwiązaniu tego układu równań wynik całkujesz Całka ogólna równania niejednorodnego jest sumą całki ogólnej równania jednorodnego i całki szczególnej równania niejednorodnego

Damian#UDM: Dziękuje Mariusz za pomoc! Widzę, że przede mną dużo pracy CHciałbym na początek ogarnąć równania liniowe rzędu pierwszego oraz rzędu drugiego metodą sprowadzania do rzędu pierwszego. Jeśli ktoś ma jakieś zadania to proszę je tutaj wrzucać

Mariusz: Wiesz co kiedyś wrzuciłem spis tematów jakimi można by się zająć Do równań różniczkowych potrzebne są pochodne i całki − w tym całki podwójne oraz wzór Leibniza na różniczkowanie pod znakiem całki aby wykazać pewne własności przekształcenia Laplace Przyda się kilka całek nieelementarnych jak funkcja Γ Do odwracania przekształcenia Laplace może być przydatna metoda residuów Z algebry przyda się rozwiązywanie równań wielomianowych , rozkład funkcji wymiernej właściwej na sumę ułamków prostych ,liczby zespolone , rachunek macierzowy w tym wartości i wektory własne Przydatne też mogą być rozkłady macierzy takie jak rozkład LU, diagonalizacja czy rozkład Jordana Co do równań różniczkowych to wypisałem sobie tematy którymi można by się zająć 0. Pojęcia wstępne np rząd równania całka równania zagadnienie Cauchyego 1. Równanie o rozdzielonych zmiennych 2. Równanie jednorodne 3. Równanie liniowe 4. Równanie Bernoulliego 5. Równanie Riccatiego *gdy znana jest całka szczególna może być sprowadzone do liniowego pierwszego rzędu *gdy nie jest znana całka szczególna może być sprowadzone do liniowego drugiego rzędu ale wtedy już nie jest aż tak łatwo je rozwiązać *jest jeszcze tzw równanie Riccatiego specjalne i w pewnych szczególnych przypadkach może być ono sprowadzone do równania o rozdzielonych zmiennych 6. Równanie zupełne , czynnik całkujący 7. Równanie Lagrange *różniczkowanie stronami , wprowadzenie parametru, sprowadzenie do liniowego pierwszego rzędu 8. Równania drugiego rzędu sprowadzalne do równań pierwszego rzędu 9. Równanie liniowe wyższego rzędu o stałych współczynnikach 10. Równanie Eulera *równanie liniowe które podstawieniem może być sprowadzone do równania liniowego o stałych współczynnikach 11. Obniżanie rzędu równania liniowego 12. Całkowanie równań szeregami (np metoda Frobeniusa) 13. Uzmiennianie stałych *rozwiązanie równania liniowego niejednorodnego przez rozwiązanie pewnego układu równań 14. Układy równań różniczkowych *metoda eliminacji *metoda Eulera (obliczanie wartości i wektorów własnych lub jak kto woli eksponenty macierzy) *metoda całek pierwszych − rozwiązywanie układów równań w postaci symetrycznej uzmiennianie stałych dla układów równań liniowych 15. Rachunek operatorowy *przekształcenie Laplace Tak więc dobrze by było przećwiczyć te tematy po kolei (Kiedyś ABC chwalił się że miał równania różniczkowe w liceum więc napisałem taki spis tematów aby pokazać co usunęli z programu nauczania)

Maciess: Tutaj też elegancko do rozwiązania szczegolnego sprawdzi się metoda przewidywań. Widać że prawa strona jest w postaci e⁰(x+1). 0 nie jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego, więc rozwiązanie będzie postaci φ=(Ax+B)e⁰ Wstawiasz do równania i porównujesz współczynniki wielomianu dostajac układ na A i B.

wakacje: Damian ja kiedyś sobie ćwiczyłem na tym pdf, za dużo tego nie ma ale pamiętam że dosyć sprawnie robiło mi się te przykłady i jak na moje początki to były one w porządku http://staff.uz.zgora.pl/mlysakow/pliki/bud_lista1.pdf

Mariusz: Jeżeli chodzi o mnie to sugerowałbym ci ćwiczyć rozwiązywanie równań w takim porządku jaki wymieniłem bądź najpierw przećwiczyć rozwiązywanie równań następujących typów 1. Równanie o rozdzielonych zmiennych 2. Równanie liniowe pierwszego rzędu 3. Równanie zupełne a następnie gdy przećwiczysz powyższe typy równań mógłbyś poćwiczyć sprowadzanie pozostałych typów równań pierwszego rzędu wydzielanych w podręcznikach do jednego z tych wymienionych powyżej typów równań (Jeśli chodzi o sposoby sprowadzania równań do innych typów to mamy tutaj np podstawienie , czynnik całkujący , wprowadzenie parametru) Dopiero gdy przećwiczysz rozwiązywanie równań rzędu pierwszego to proponuję abyś przeszedł do rozwiązywania równań drugiego rzędu

Mariusz: Maciess ja akurat przewidywania nie lubię Mniej równań można rozwiązać tym sposobem a poza tym jest dużo zapamiętywania bez uzasadnienia choć czasem potrafi skrócić obliczenia Poza tym on źle zabiera się za naukę skacze po tematach co nie jest zbyt efektywnym sposobem nauki

Damian#UDM: wakacje dziękuję za ten plik, właśnie kończę 1. zadanie, zobaczymy jak kolejne pójdą

Damian#UDM: Mariusz obecnie skacze tak, ponieważ sprawdzam co mi najłatwiej i najszybciej do głowy wejdzie, lecz widzę, że nie będzie łatwo.

Ma: Masz złe podejście do nauki , w ten sposób niewiele się nauczysz a już na pewno nauka nie będzie efektywna Jak chcesz sobie poćwiczyć to możesz sobie wybrać z tego pdf kilka równań o rozdzielonych zmiennych i liniowych pierwszego rzędu z tego pdf co podesłał wakacje Jeżeli będziesz chciał rozwiązywać też równania jednorodne to spróbuj zapisać

	dy		y		dx		x
je w postaci		=f(		) bądź		=f(		)
	dx		x		dy		y

wtedy może łatwiej zauważysz że jedno z podstawień y=ux bądź x=uy powinno sprowadzić równanie jednorodne do równania o rozdzielonych zmiennych Jeżeli chodzi o mnie to nieco inaczej ułożyłbym zadania Z tego widziałem to tam tylko jedna lista jest z równań różniczkowych a przydałoby się równania różniczkowe omawiać np zgodnie ze spisem który podałem we wpisie z 26 maj 2021 22:03

Damian#UDM: Ja myślę, że niedługo Mariusz odezwę się do Ciebie na maila . 3. zadanie Rozwiąż równanie

	2x−1
y'=		*y
	x2

Moje rozwiązanie

	2x−1		dx
y'=		*y | *
	x2		y

dy		2x−1
	=		dx , w tym momencie mam równanie o zmiennych rozdzielonych, całkuje je
y		x2

stronami

	dy		2x−1
∫		=∫		dx
	y		x2

	dx		dx
ln|y|=2∫		−∫
	x		x2

ln|y|=2ln|x|+¹_x+C I teraz nie wiem czy dalej będzie ok (1) y=e^2ln|x|+1_x+C lub próbowałem tak (2) ln|y|=ln|x²|+ln|e^1_x|+ln|C| ln|y|=ln|x²*e{¹_x*C| i wtedy y = ±x²*e^1_x*C Myślę, że (1) jest ok. A jak wy uważacie?

wakacje: hmm, ja bym zrobił tak:

	2x−1
y'=		*y
	x2

dy		y(2x−1)
	=
dx		x2

dyx²=y(2x−1)dx

dy		2x−1
	=		dx
y		x2

1		2x		1
	dy=(		−		)dx / całkujemy obustronnie
y		x2		x2

	1		2		1
∫		dy=∫(		−		)dx
	y		x		x2

	1		1
∫		dy=2∫		dx−∫x−2dx
	y		x

	1
ln|y|=2ln|x|+		+C
	x

	1
ln(y)=ln(x2)+		+C
	x

	1
y=eln(x2)+		+C
	x

gdzie oczywiście: e^ln(x2)=x² oraz e^C to stała więc: y=C₁*x²*e^1/x, gdzie e^C=C₁

Damian#UDM: Równania liniowe I rzędu i jednorodne myślę, że w miarę ogarniam, z niejednorodnymi już na pewno jest problem, gdyż jest tam o wiele więcej roboty. W takim razie mam podobnie. Dziękuje wakacje za Twoje rozwiązanie

Damian#UDM: Jak z takiego równania |cos(y)|=|C*cos(x)| wyznaczyć y ?

wakacje: cos(y)=C*cos(x) ⇔ arccos(cos(y))=arccos(C*cos(x)) ⇔ y=arccos(C*cos(x)) swoją drogą zastanawiają mnie wartości bezwzględne w takim równaniu różniczkowym jak powinno się do nich podchodzić? możemy je bezkarnie opuszczać czy trzeba rozpatrywać przypadki? tutaj rozumiem to jako, że: |cos(y)|=|C*cos(x)| ⇔ cos(y)=C*cos(x) v cos(y)=−C*cos(x), gdzie C i −C jest stałą, zatem znak minusa możemy pominąć

Damian#UDM: No mnie to też zastanawia czy właśnie można je sobie tak bezkarnie pomijać Dziękuję za pomoc.

Mariusz: Ad 27 maj 2021 17:07 Jeżeli chodzi o równania liniowe niejednorodne to aby je rozwiązać musisz oprócz rozwiązania równania jednorodnego znaleźć całkę szczególną równania niejednorodnego i to jest ta dodatkowa robota Podczas znajdowania całki szczególnej w pewien sposób korzystasz z tego że postać lewej strony równania różniczkowego liniowego pierwszego rzędu jest podobna do wzoru na pochodną iloczynu Mając rozwiązanie równania liniowego jednorodnego zakładasz że całka szczególna równania liniowego niejednorodnego jest w postaci y_s(x)=C(x)y_j(x) gdzie C(x) nieznana funkcja y_s całka szczególna równania niejednorodnego y_j całka szczególna równania jednorodnego Co do uzasadnienia dlaczego można opuszczać wartość bezwzględną zaprezentowanego przez wakacje to nie widzę do czego można by się przyczepić

Mariusz: Tak jak ci wcześniej napisałem wszystkie wydzielane w podręcznikach typy równań różniczkowych pierwszego rzędu mogą być sprowadzone do jednego z trzech następujących typów równań 1. Równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych 2. Równanie różniczkowe liniowe niejednorodne 3. Równanie zupełne więc proponuję zająć się najpierw tymi typami równań różniczkowych Masz na razie rozdzielone zmienne Wkrótce wrzucę też liniowe niejednorodne https://pdfhost.io/v/m.~ozyhz8_rr1_rozdzielone_zmiennepdf.pdf

Damian#UDM: Dziękuje Mariusz za plik z zadaniami, niedługo z nim będę działał A teraz 4. zadanie Rozwiąż równanie jednorodne (y−2x)*y'=2y+x Użyłem podstawienia u=^y_x Otrzymałem równanie (u−2)*(u'*x+u)=2u+1 Przekształciłem je do równania o zmiennych rozdzielonych

2−u		dx
	du=
u2−4u−1		x

Przekształciłem dalej do postaci

	C
|u2−4u−1|=|		|
	√x

dalej

	C
(u−2+√5)(u−2−√5)=
	√x

Tutaj już nie wiem co zrobić, proszę o pomoc

Damian#UDM: 5. zadanie Rozwiąż równanie jednorodne (x+y)*y'−2y=0

	y
Użyłem podstawienia u=
	x

Po przekształceniach otrzymałem równanie o zmiennych rozdzielonych

u+1		dx
	du=
u−1		x

Następnie otrzymałem e^u*(u−1)²=x*C, C∊R I tutaj również nie wiem co dalej, wydaje mi się, że dobrze wszystko policzyłem. Zapraszam do pomagania

Mariusz: Wcześniejszego nie sprawdzałem ale od momentu gdzie masz rozdzielone zmienne

2−u		dx
	du=
u2−4u−1		x

−2(2−u))		dx
	du=−2
u2−4u−1		x

2u−4		dx
	du=−2
u2−4u−1		x

ln|u²−4u−1|+2ln|x|=C₁ ln|u²−4u−1|+ln|x²|=C₁ ln|u²x²−4ux²−x²|=C₁ ln|y²−4xy−x²|=C₁ |y²−4xy−x²|=e^C₁ y²−4xy−x²=±e^C₁ y²−4xy−x²=C I to jest rozwiązanie w postaci uwikłanej Aby otrzymać rozwiązanie w postaci jawnej rozwiązujesz równanie kwadratowe 5. Tutaj wracasz do poprzedniej zmiennej Po powrocie do poprzedniej zmiennej dobrym pomysłem jest sprawdzenie rozwiązania przez wstawienie go do równania

Mariusz: 29 maj 2021 00:13 Sprawdź jeszcze swoje obliczenia bo powinieneś dostać inne równanie o rozdzielonych zmiennych

Damian#UDM:

	1		1
No w 4. głupi błąd zrobiłem bo zamiast		napisałem		, ale już poprawiłem
	x2		√x

Czyli teraz tam mam (y−(2+√5)x)(y−(2−√5)x)=C i co dalej w takim wypadku ?

Damian#UDM: No i w 5. też głupi błąd przy mnożeniu, niestety

Damian#UDM: Teraz w 5. otrzymałem

u+1		dx
	du=		, teraz powinno być ok
u−u2		x

Mariusz: No ok Teraz wystarczy scałkować obustronnie i nawet nie trzeba stosować schematycznego rozkładu na sumę ułamków prostych z współczynnikami nieoznaczonymi bo wystarczy w odpowiedni sposób zapisać licznik np pochodna mianownika to 1−2u zatem licznik możesz zapisać jako (1−2u)+3u i wtedy po skorzystaniu z liniowości całki licznik skróci ci się z mianownikiem

Mariusz: "(y−(2+√5)x)(y−(2−√5)x)=C i co dalej w takim wypadku " Teraz możesz zostawić rozwiązanie w postaci uwikłanej albo je rozwikłać rozwiązując równanie kwadratowe

Damian#UDM: Dobrze, czyli rozwiązanie w postaci uwikłanej też jest ok Co do 29 maj 2021 11:33 to oczywiście takie całki ogarniam i nie będzie z tym żadnego problemu

Damian#UDM: W 4. wyszło mi na końcu

y		x		C
	+		=		+2 , mam to tak zostawić? To również jest rozwiązanie w postaci
x		y		x

uwikłanej?

Damian#UDM: Rozwiązanie jawne, czyli y=y(x) Rozwiązanie uwikłane, czyli y=h(x,y) rozumiem

Mariusz: Jeżeli chodzi o zadanie 4. to spójrz na wpis z 29 maj 2021 01:22 tam masz rozwiązanie równania w postaci uwikłanej

wakacje: ja bym taką postać (y²−4xy−x²=C) doprowadził do innej postaci poprzez dopełnienie do kwadratu zupełnego: y²−4xy−x²=C y²−4xy+4x²=5x²+C (y−2x)²=5x²+C |y−2x|=√5x²+C y−2x=±√5x²+C y=±√5x²+C+2x co do całego postu to powiem, że przy okazji również korzystam z Twoich porad Mariusz i coś tam staram się poduczyć z tych równań różniczkowych

Mariusz: Damian , wakacje Jak przećwiczycie te tematy które uwzględniłem w spisie z 26 maj 2021 22:03 to już będzie spory postęp no ale nie za wiele od razu poza tym jeśli chcemy nauczyć się rozwiązywać równania różniczkowe to najlepiej jest się uczyć je rozwiązywać w odpowiedniej kolejności Jak wam się skończą równania to mogę przygotować kolejny zestaw

wakacje: Mariusz, ja właśnie trzymam się tego wpisu i postanowiłem że będę po kolei się uczył tego, co tam wypisałeś, bo samemu to tak naprawdę tyle tego jest, że nie wiadomo za co się zabrać na ten moment odświeżam sobie pamięć i kończę te dwa pierwsze zadania z tego pdf, który tutaj podsyłałem (te dwa zadania to równania o zmiennych rozdzielonych oraz równania jednorodne) skończę te dwa zadania i zabiorę się za ten pdf, który wrzuciłeś 28 maja o 12:14

wakacje: swoją drogą, robię już któryś raz zadanie 5 i coś mi ciągle nie pasuje.. zamieszczę swoje rozwiązanie, od momentu, w którym mamy:

	u+1		dx
		du=
	u−u2		x

	1−2u+3u		dx
∫		du=∫
	u−u2		dx

ln|u−u²|−3ln|u−1|=ln|x|+C ln|u(u−1)|−3ln|u−1|=ln|x|+C ln|u|+ln|u−1|−3ln|u−1|=ln|x|+C ln|u|−2ln|u−1|=ln|x|+C ln|u|−ln|(u−1)²|=ln|x|+C

	u
ln|		|=ln|x|+C
	(u−1)2

	u
		=Cx
	(u−1)2

u=Cx(u−1)² u=Cx(u²−2u+1) u=Cxu²−2Cxu+Cx Cxu²−(2Cx+1)u+Cx=0 /:Cx

	2Cx+1
u2−		u+1=0
	Cx

	2Cx+1		2Cx+1
u2−(		)u=−1 /+(		)2
	Cx		2Cx

	2Cx+1		2Cx+1		1
u2−(		)u+(		)2=−1+(1+		)2
	Cx		2Cx		2Cx

	2Cx+1		4Cx+1
(u−(		))2=
	2Cx		4C2x2

	2Cx+1		√4Cx+1
|u−		|=
	2Cx		2Cx

	2Cx+1		√4Cx+1
u−		=±		/*2Cx
	2Cx		2Cx

2Cxu−2Cx+1=±√4Cx+1 2Cxu=±√4Cx+1+2Cx−1

	±√4Cx+1+2Cx−1
u=
	2Cx

	y		±√4Cx+1+2Cx−1
		=
	x		2Cx

	y		±√4Cx+1+2Cx−1
		=
	x		2Cx

	±√4Cx+1+2Cx−1
y=
	2C

całego rozwiązania nie sprawdzajcie, bo za dużo tego, ale skonfrontujcie proszę końcową postać funkcji ze swoimi wynikami czy tak Wam to wyszło?

Mariusz: Do tego momentu rozwiązywałem tak samo

	u
ln|		|=ln|x|+C1
	(u−1)2

	u
ln|		|−ln|x|=C1
	(u−1)2

	u
ln|		|=C1
	(u−1)2x

	ux
ln|		|=C1
	(u−1)2x2

	ux
ln|		|=C1
	(ux−x)2

	y
ln|		|=C1
	(y−x)2

	y
|		|=eC1
	(y−x)2

U{y}{(y−x)²=±e^C₁ U{y}{(y−x)²=C U{y}{(y−x)²=C y=C(y−x)² y=Cy²−2Cxy+Cx² Cy²−(2Cx+1)y+Cx²=0 (2Cx+1)²−4C²x²=(2Cx+1−2Cx)(2Cx+1+2Cx) (2Cx+1)²−4C²x²=(1+4Cx)

	2Cx+1±√1+4Cx
y=
	2C

wakacje próbowałeś samodzielnie sprawdzić rozwiązanie wstawiając je do równania ? (x+y)*y'−2y=0 Rozwiązanie w postaci uwikłanej F(x,y) = C sprawdzasz następująco

	δF   δx
(x+y)(−		)−2y=0
	δF   δy

gdybyś miał rozwiązanie w postaci jawnej x(y) ≠ const to mógłbyś to równanie sprawdzić tak

	1
(x+y)		−2y=0
	x'(y)

Mariusz: wakacje ,błąd masz gdy z równania

	2Cx+1		√4Cx+1
u −		=±
	2Cx		2Cx

przechodzisz do równania 2Cxu−2Cx+1=±√4Cx+1 Otóż po przemnożeniu powinieneś dać nawias w następującym miejscu 2Cxu−(2Cx+1)=±√4Cx+1

wakacje: Rzeczywiście, widzę swój błąd. Zastanawiał mnie ten przykład, bo sprawdzałem sobie to równanie w Wolframie, ale kompletnie inne rozwiązanie tam wyskakiwało i stąd moje wątpliwości. Możliwe że po prostu źle zinterpretował Wolfram to równanie.. Mam pytanie co do zapisu x(y) − czy jest to wymienne z zapisem y(x)?

	2Cx+1±√4Cx+1
Wydaje mi się że nasza forma, czyli y=		jest to y(x), zatem pisząc x(y) nie
	2C

powinniśmy z tej postaci wyznaczyć "x"? Pytam bo próbowałem sprawdzić to równanie i wyszła mi jakąś kompletna bzdura, więc dałeś mi do myślenia

Mariusz: To raczej będą funkcje odwrotne , ale rozwiązanie x(y) będzie poprawne

Mariusz: Rozwiązanie możesz przedstawiać w następujących postaciach Rozwiązanie w postaci uwikłanej F(x,y)=C Zwłaszcza gdy przedstawienie rozwiązania będzie trudnym zadaniem bądź będzie wymagało użycia jakichś nieznanych tobie funkcji nieelementarnych Rozwiązanie w postaci jawnej x(y) = f(y) Zwłaszcza gdy obliczenie funkcji odwrotnej będzie trudnym zadaniem bądź będzie wymagało użycia jakichś nieznanych tobie funkcji nieelementarnych Rozwiązanie w postaci jawnej y(x) = f(x)

Mariusz: "Wydaje mi się że nasza forma, czyli ... " Jest tak jak ci się wydaje Twoje rozumowanie jest poprawne

wakacje: Co do sposobów przedstawienia postaci końcowej to do tej pory były dosyć łatwe przykłady i zawsze doprowadzałem je do postaci jawnej y(x)=f(x), bo zostawiając w postaci uwikłanej to jakoś mam wrażenie że zadanie nie jest rozwiązane do końca.. Co do sprawdzenia poprawności rozwiązania to przyjąłem sobie, że C=1, z tego wyszła mi funkcja

	1		√4x+1
y=x+		+		, policzyłem y', podstawiłem i wyszło że L=P, także jest ok
	2		2

wakacje: Zastanawia mnie kolejny przykład, mamy do rozwiązania takie równanie różniczkowe:

	dy
x		=y+√y2−x2
	dx

dy		y
	=		+√(y/x)2−1
dx		x

	y
u=		, y=u*x, y'=u'x+u
	x

u'x+u=u+√u²−1

du
	x=√u2−1
dx

du		dx
	=
√u2−1		x

ln|u+√u²−1|=ln|x|+C |u+√u²−1|=C*|x| u+√u²−1=Cx √u²−1=(Cx−u) u²−1=(Cx)²−2Cxu+u² 2Cxu=(Cx)²+1

	C2x2+1
u=
	2Cx

y		C2x2+1
	=
x		2Cx

	C2x2+1
y=
	2C

Na Wolframie wychodzą bodajże funkcje hiperboliczne a z tym to kompletnie nie wiem o co chodzi Jeśli jest ok to zostaje mi jeszcze jeden przykład i potem zabieram się za ten pdf, który podesłałeś

Mariusz:

	du
W Wolframie są funkcje hiperboliczne bo tak on liczy całkę
	√u2−1

Gdybyś chciał ją policzyć bez hiperbolicznych to najlepiej sprawdzą się podstawienia Eulera (Jak widać po wyniku z podstawień Eulera lepiej sprawdzi się to pierwsze czyli z współczynnikiem wiodącym) Wygląda ok Tam masz równania o rozdzielonych zmiennych bo chciałem po kolei wg spisu z wpisu 26 maj 2021 22:03 bez względu na ten pdf co znalazłeś

wakacje: Zabrałem się za Twój pdf Mariusz i mam takie pytanie Jeśli mamy takie równanie różniczkowe: 2x²y*y'+y²=2, to doprowadzam je do postaci

	dy
		=f(x)*g(y) i potem standardowy 'schemat'
	dx

Żeby doprowadzić do takiej postaci, to muszę podzielić całe równanie przez '2x²y', czyli tym samym robię założenie, że x≠0 i y≠0 Załóżmy że rozwiązanie przedstawiam w postaci jawnej y(x)=f(x) Czy dobrze rozumiem, że w momencie w którym mam rozwiązanie, sprawdzam czy y=0 zawiera się w tej odpowiedzi? Mam na myśli, że sprawdzam czy na przykład mogę dobrać takie C, które spowoduje że moja funkcja przybierze postać y=0? Zastanawia mnie co z x=0, z postaci jawnej y(x)=f(x) chyba nie jestem w stanie tego uzyskać (sprawdzić)

HGH: Co do równań różniczkowch mogę polecić tego PDFA: http://home.agh.edu.pl/~gora/rownania/RRZ.pdf z tego co widze to większość tego co rozpisał Mariusz tam znajdziecie. Nie jest to materiał ze studiów matematycznych, ale myślę, że na start są spokojnie wystarczające.

wakacje: Mi się udało znaleźć pdf z całej książki na temat równań różniczkowych, autorzy to Łanowy, Przybylak i Szlęk Dzięki wielkie za podesłanie pdfa HGH, w wolnej chwili przysiądę i postudiuje

HGH: jeśli ksiązki to od siebie mogę polecić również Równania różczniczkowe zwyczajne autorstwa M. Gewert i Z. Skoczylas Jeśli bedzięsz mieć sporo czasu na przestudiowanie to tutaj sa fajne 'realne' zastosowania równań różniczkowych. Niektóre metody fajnie zobrazowane, i kilka wzorów.

Mariusz: Tak jak dzielisz to musisz założyć że to przez co dzielisz jest różne od zera a na końcu sprawdzić czy przez to założenie nie straciłeś rozwiązań Tutaj po wstawieniu x=0 otrzymasz y(0)²=2 zatem prosta x = 0 (oś Y) przetnie się z krzywymi całkowymi w dwóch punktach y=−√2 oraz y=√2 więc czy można x = 0 nazwać rozwiązaniem ? Tak możesz sprawdzić czy uda ci się dobrać takie C aby y=0 wtedy nie musisz rozwiązania y=0 zapisywać oddzielnie

Mariusz: HGH Gewerta czytałem ale trzeba go uzupełniać U siebie mam też inne skrypty jak ten o którym wspomniał wakacje , a także Nikliborca i Niedobę, przeglądałem też książki i zbiór zadań po rosyjsku HGH może i realne są ale nie mka zadań do samodzielnego rozwiązania więc jak sobie utrwalą wiedzę i nauczą się rozwiązywać te równania ?

Mariusz: Tutaj też masz trochę książek http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/ode.htm

HGH: Mariusz, mam ksiazke w której są zadania do rozwiązania. Ale mam kilka od nich książek i niektóre są podzielone na 2. Jedna zawiera teorie a druga tylko zadania (rozwiazane i do rozwiązania) Pewnie masz wersje gdzie zadań do rozwiązania samodzielnego nie ma, ale taka wersja jest i tą właśnie miałem na myśli. Co do zbioru zadań to nasz wykładowca, uznał że najlepszy jaki jest to właśnie ten po rosyjsku, niestety imienia i nazwiska nie potrafie przeczytać

Mariusz: Ja przeglądałem ten pdf który podesłałeś i w nim nie widziałem zadań do samodzielnego rozwiązania Z rosyjskich zbiorów przeglądałem Filippowa A.F. Filippow Zbiór zadań z równań różniczkowych Ja tutaj chciałem aby ćwiczyli równania różniczkowe wg spisu którego napisałem we wpisie z 26 maj 2021 22:03 I w sumie chciałbym się ograniczyć do przygotowywania zestawów zadań z wcześniejszym przedstawieniem sposobu rozwiązania zilustrowanym na wybranych przykładach , sprawdzania rozwiązania zadań i odpowiadania na ewentualne pytania Taki miałem pomysł na odpowiadanie w tym wątku

wakacje: Dla mnie to też jest o wiele lepsze niż studiowanie książek, mam przynajmniej stały kontakt i mogę się w każdej chwili o coś spytać jeśli mam problem ze zrozumieniem czegoś bądź jakieś wątpliwości Mariusz już zrobiłem kilka przykładów z tego pdf który przygotowałeś i na razie nie mam żadnych problemów, dosyć schematycznie to idzie i całki też są do opanowania W razie czego będę zamieszczał tutaj pytania W ogóle są tam przykłady gdzie są np. x^2y, to tak powinno być? Wtedy chyba nie ma szans na to aby sprowadzić to do równania o rozdzielonych zmiennych, także obstawiam że jakieś błędy się wkradły

wakacje: Co do pytania czy x=0 można w takim przypadku nazwać rozwiązaniem to nie, moim zdaniem jeśli sprawdzamy warunek z początku to powinna wychodzić tożsamość, że L=P, lewa strona jest równa prawej Chociaż z drugiej strony wyszły nam konkretne punkty przecięcia z krzywymi całkowymi, więc to też można potraktować jako pewne rozwiązanie, bo równie dobrze może nam wyjść zdanie fałszywe, czyli że na przykład 3=1 Jak to z tym jest?

Mariusz: A czy to nie jest tak że x = 0 wyrzucasz z dziedziny tej funkcji y(x) ? Tam w postaci jawnej masz dzielenie przez x

HGH: Tak w pdfie nie ma zadan do rozwiazania, bo roziwazywaliśmy zadania z Filippowa własnie, jak napisałeś to sobie przypomnialem jego nazwisko.

Mariusz: Jeśli chodzi o mnie to rosyjskiego nie znam bo zanim zdałem do piątej klasy to wywalili tej język z programu nauczania a mamuśka nie chciała mnie uczyć chociaż była nauczycielką tego języka Cyrylicę jako tako znam (Wprawdzie są translatory takie jak Google translate ale wiadomo jaka jest ich jakość Zbiór Filippowa widziałem jedynie w oryginalnej wersji językowej)

wakacje: To prawda, x=0 jest wyrzucone z dziedziny akurat w tym przykładzie, ale zastanawiałem się po prostu co by było gdybyśmy tego z dziedziny nie wyrzucali

Mariusz: To mógłbyś dla ciekawości obliczyć stałą aby sprawdzić czy twoje rozwiązanie uwzględnia te punkty

wakacje: A jeśli mamy taki przykład: xy(xy²+x)dy−dx=0 Doprowadzamy równanie do postaci: y(y²+1)dy=x⁻²dx, przy założeniu, że x≠0 Sprawdzamy co się dzieje gdy x=0, wtedy równanie przyjmuje postać 0=dx Co w takiej sytuacji?

Mariusz:

	dx
Jeżeli zapiszesz to równanie w postaci xy(xy2+x)−		=0 to otrzymasz 0=0
	dy

wakacje:

	dx
Może głupie pytanie, ale czy w równaniu musi się pojawić		, aby sprawdzić x=0, i
	dy

	dy
analogicznie czy musiałoby się pojawić		gdybyśmy chcieli sprawdzić y=0?
	dx

Szczerze to na ten moment niektóre oznaczenia sprawiają mi jeszcze problem i nie do końca wiem co oznaczają, stąd moje pytanie

wakacje: Teraz próbuję się z takim równaniem: sin(t)*y'=y*ln(y)

	dt		dy
Dochodzę do takiego momentu:		=
	sin(t)		y*ln(y)

Liczę całkę po lewej (ta po prawej nie sprawiła mi problemu)

	dt		sin(t)dt		sin(t)dt
∫		=∫		=∫		=
	sin(t)		sin2(t)		1−cos2(t)

x=cos(t) dx=−sin(t)dt

	−sin(t)dt
=−∫		=
	1−cos2(t)

	dx
=−∫		=
	1−x2

	dx
=∫		=
	x2−1

	dx
=∫		=
	(x+1)(x−1)

1		A		B
	=		+
x2−1		x+1		x−1

1=A(x−1)+B(x+1) 1=Ax−A+Bx+B 0=(A+B)x+B−A−1 A=−B i 2B=1

	1		1
A=−		oraz B=
	2		2

	1   2		1   2
=∫(−		+		)dx=
	x+1		x−1

	1		1		1
=		∫(		−		)dx=
	2		x−1		x+1

	1		1		x−1
=		(ln|x−1|−ln|x+1|)=		*ln|		|
	2		2		x+1

Wracamy do równania:

	√x−1
ln|		|+C=ln|ln(y)|
	√x+1

	√x−1
C*|		|=ln(y)
	√x+1

	√cos(t)−1
C*|		|=ln(y)
	√cos(t)+1

	√cos(t)−1
y=eA, gdzie A=C*|		|
	√cos(t)+1

Po skonfrontowaniu mojego wyniku z tym z Wolframa wychodzi że mam źle, w takim razie czy ta całka jest nieprawidłowo policzona?

piotr: masz dobrze policzoną całkę: https://www.wolframalpha.com/input/?i=-log%28cot%28t%29+%2B+csc%28t%29%29-%28log%28%28%28cos%28t%29-1%29%2F%28cos%28t%29%2B1%29%29%5E%281%2F2%29%29%29

Mariusz: Co do pytania z wpisu z 2 cze 2021 01:29 Tak możesz tak to sprawdzać choć możesz też rozważyć uzależnienie x oraz y od jakiegoś parametru np t Miałbyś wtedy

	dy		dx
x(t)y(t)(x(t)y2(t)+x(t))		dt−		dt=0
	dt		dt

przyjmując że parametr t nie jest stały daje to nam

	dy		dx
x(t)y(t)(x(t)y2(t)+x(t))		−		=0
	dt		dt

Jeśli chodzi o całkę to wygląda na dobrze policzoną

wakacje: Dziękuję za sprawdzenie piotr Same równania może nie sprawiają mi problemu, ale większe problemy sprawia mi już te sprawdzanie założeń z początku Jeżeli mamy takie równanie (x²−1)y'+2xy²=0, to podstawiając x=1 do równania otrzymujemy, że y=0, więc czy w takim razie x=1 jest rozwiązaniem tego równania? Tak samo zastanawia mnie w ogóle dziedzina tych równań, powinniśmy ja określać czy to się kompletnie pomija? Niby się rozwiązuje te równania ale jakoś mam wrażenie że tak krążę po omacku wokół tego tematu, za dużo pytań mam

Mariusz: Otrzymujesz 2y(1)=0 czyli nie jest rozwiązaniem Dobrze by było określić dziedzinę ale jeśli dobrze pamiętam to w przykładach u Gewerta jest to pomijane

Mariusz: Po wstawieniu otrzymujesz że (x²−1)y'+2xy²=0 otrzymujesz że y(1)=0 I teraz dla równania różniczkowego z warunkiem początkowym y(1)=0 x=1 spełniałoby to równanie w przeciwnym razie nie

wakacje: Dokładnie o to mi chodziło, dzięki wielkie − kojarzę właśnie że czasami pojawiają się takie równania różniczkowe z warunkiem początkowym i poprzez ten warunek wyznaczamy na końcu stałą C W ogóle czy masz odpowiedzi do tego zestawu, który podesłałeś?

	dy		dy
Robię teraz ten przykład: (1+y2)(e2x−ey*		)−(1+y)		=0
	dx		dx

I wychodzi mi coś takiego:

	e2x		1
		+C=		ln|y2+1|+arctan(y)+ey
	2		2

I chyba dosyć ciężko byłoby to doprowadzić do postaci jawnej, także zostawiłbym to w postaci uwikłanej

wakacje: Dobra, teraz widzę że można to doprowadzić do postaci x(y) e^2x+2C=ln(y²+1)+arctan(y)+e^y e^2x=ln(y²+1)+arctan(y)+e^y−2C 2x=ln[ln(y²+1)+arctan(y)+e^y−2C]

	ln[ln(y2+1)+arctan(y)+ey−2C]
x=
	2

Mariusz: Te równania wybierałem ze zbiorów zadań , więc pewnie by się znalazło To równanie chyba pochodziło ze zbioru Krysickiego i Włodarskiego i tak rozwiązanie pozostawione zostało w postaci uwikłanej Masz tutaj jeszcze takie równanie do rozwiązania

	dy
(x2+1)		+xy−x=0
	dx

Ponieważ już rozwiązywałeś jednorodne to możesz spróbować rozwiązać takie równanie

	2x3
(4x2+10y)dx+(		−15x)dy=0
	y

Powyższe równanie dość łatwo sprowadzić do jednorodnego i to jest moja podpowiedź co do sposobu rozwiązania tego równania

wakacje: Od razu rozwiążę ten pierwszy przykład tutaj (wynik z Wolframem się zgadza, także nie sprawdzaj)

	dy
(x2+1)		+xy−x=0
	dx

	dy
(x2+1)		=x−xy
	dx

	dy
(x2+1)		=x(1−y)
	dx

dy		x
	=		*(1−y)
dx		x2+1

(x²+1)dy=(1−y)*xdx

	dy		x
∫		=∫		dx, y≠1
	1−y		x2+1

	dy		1		2x
∫		=−		∫		dx
	y−1		2		x2+1

	1
ln|y−1|=−		ln|x2+1|+C
	2

	1		1
ln|y−1|=		ln(		)+C
	2		x2+1

	1
ln|y−1|=ln(		)+C
	√x2+1

	C
|y−1|=
	√x2+1

	C
y−1=
	√x2+1

	C
y=		+1
	√x2+1

+ sprawdzamy co się dzieje dla y=1, ale gdy C=0, to funkcja przyjmuje postać y=1, także zawiera się to w naszym rozwiązaniu

Mariusz: Wakacje , rozwiązanie w postaci uwikłanej poprawne , choć lepiej byłoby je zapisać jako F(x,y)=C, np gdybyś chciał samodzielnie je sprawdzić natomiast źle przekształciłeś równanie aby zapisać je w postaci jawnej Sprawdź czy nie pomyliłeś się przy mnożeniu równania przez 2

wakacje: W którym miejscu widzisz błąd? Bo tak patrzę i nie widzę

	1		1
Mówisz o momencie ln|y−1|=		ln(		)+C?
	2		x2+1

Tutaj jedną drugą wrzuciłem do logarytmu

Mariusz: Pisałem o poprzednim równaniu bo tego ostatniego jeszcze nie widziałem To ostatnie równanie jest rozwiązane poprawnie

Mariusz: a co do równania

	2x3
(4x2+10y)dx+(		−15x)dy=0
	y

to sprawdź czy podstawienie y = u^r , gdzie r = const sprowadzi powyższe równanie do jednorodnego ale możesz też zostawić je na później gdy będziemy sprowadzali równania do równania jednorodnego

wakacje:

	y		4x2+10y		dy
Właśnie się na nim zawiesiłem i doszedłem do postaci		*		+		=0,
	x		2x2−15y		dx

ale chyba nic dalej nie da się wykombinować

	dy
Próbowałem skorzystać z Twojej podpowiedzi ale nie wiem co zrobić w równaniu z		, także
	dx

chyba na razie to sobie odpuszczę

Mariusz: y=u^r

dy		du
	=rur−1
dx		dx

a co do postaci którą uzyskałeś to po podzieleniu licznika i mianownika przez x² łatwo zauważyć podstawienie które sprowadzi to równanie od razu do równania o rozdzielonych zmiennych

wakacje:

	dy
No to widzisz, mi nie pasowało to podstawienie, bo myślałem że będzie		=rur−1, więc
	du

jeszcze tak nie do końca rozumiem tę zasadę zapisu

Mariusz: No nie po tym podstawieniu y nadal by zależało od x tylko stałą r byś musiał tak dobrać aby równanie było jednorodne

wakacje: W takim razie na razie zostawmy takie podstawienie, lećmy po kolei to może będzie lepiej Co do tego pdfa z równaniami o rozdzielonych zmiennych to właśnie skończyłem, w 4 przykładach obstawiam że wkradły się błędy przy przepisywaniu, ale myślę że i tak starczy tego typu równań Czyli teraz ćwiczyć jednorodne?

	y
Dodam że kilka jednorodnych już liczyłem, ale jedynie z podstawieniem u=
	x

Mariusz: Jeżeli chcesz trzymać się kolejności zgodnie z wpisem z 26 maj 2021 22:03 to tak ale można też przejść do równań liniowych a następnie zupełnych a samo sprowadzanie równań pierwszego rzędu do tych trzech typów zostawić na później jak wolisz

Mariusz: Jeśli chodzi o równania jednorodne to tutaj chciałbym się zatrzymać także przy równaniach takiej postaci

dy		y		y
	=		+g(x)f(		)
dx		x		x

dy		y		y
	=		f(		)
dx		x		xr

dy		a1x+b1y+c1
	=f(		)
dx		a2x+b2y+c2

Mariusz: Masz tutaj kilka równań do rozwiązania https://pdfhost.io/v/pP8rwvXP~_rr1_jednorodnepdf.pdf

wakacje: Dzięki wielkie, zobaczymy w jakim tempie je zrobię i w razie jakichkolwiek wątpliwości to będę pisał

Damian#UDM: Nie wiem jak rozwiązać to równanie liniowe jednorodne I−go rzędu: (x+y)*y^'=y*tg(x) Próbowałem podstawienia u=^y_x : u'*x+u+u*u'*x+u²=u*tg(x) Lecz niestety nic mi nie wychodzi. Proszę o pomoc

Mariusz: Możliwe że wystąpił błąd np podczas edytowania pliku pdf bo wg mnie nie przedstawisz tego równania w postaci

dy
	+p(x)y=q(x)
dx

bądź

dx
	+p(y)x=q(y)
dy

a podstawienie sprowadzające równanie (x+y)y' = ytg(x) , do jednego z powyższych równań trudno wymyślić Równanie jednorodne miałbyś gdyby równanie wyglądało następująco

	y
(x+y)y' = ytg(		) ,
	x

bądź

	x
(x+y)y' = ytg(		) ,
	y

no ale z treści wynikało że to miało być liniowe niejednorodne (x+y)y' = ytg(x) (x+y)y'=ytg(x) x+y=xv y=xv−x y'=v+xv'−1 xv(v+xv'−1)=(xv−x)tg(x) v(v+xv'−1)=(v−1)tg(x) v²+xvv'−v=(v−1)tg(x) xvv'=−v²+(tg(x)+1)v−tg(x)

	1
v=
	u

	u'
v'=−
	u2

	u'		1		1
x(−		)=−		+(tg(x)+1)		−tg(x)
	u3		u2		v

xu'=u−(tg(x)+1)u²+tg(x)u³

	tg(x)		tg(x)+1		u
u'=		u3−		u2+
	x		x		x

a to nie jest równanie liniowe i równania tego typu który otrzymaliśmy dość trudno rozwiązać

Damian#UDM: No to pewnie jest tam błąd A jak przekształcić

	cos(y)−1		y
ln|		|=ln(tg(		))
	cos(y)+1		2

?

ICSP: Z lewej strony masz funkcję zależną od kąta γ

	γ
Z prawej strony masz funkcję zależną od kąt
	2

Próbowałeś przejść na kąty połówkowe z lewej strony?

	γ		γ
cosγ = cos2(		) − sin2(		)
	2		2

	γ		γ
1 = cos2(		) + sin2(		)
	2		2

Damian#UDM: Z lewej strony chyba zabrakło mi ¹₂

Damian#UDM: Chyba po prostu zapamiętam wzór

1		cos(x)−1
	ln|		|=ln(tg(x2))
2		cos(x)+1

I będzie mi po prostu łatwiej

wakacje: Mam wątpliwości co do pewnego przykładu z tego pdf, dokładnie z przykładem:

	dy		2y2−xy
		=
	dx		x2−xy+y2

	u2−u+1
Dochodzę do całki ∫		du
	u(u−1)(u−2)

Stosuję tutaj rozkład na sumę ułamków prostych i otrzymuję taką całkę:

u2−u+1

1

1

1

3

1

∫

du=

∫

du−∫

du+

∫

du

u(u−1)(u−2)

2

u

u−1

2

u−2

	1		u(u−2)3
Ta całka równa jest		*ln|		|
	2		(u−1)2

Wracam do równania

	1		u(u−2)3
		*ln|		|=−ln|x|+C
	2		(u−1)2

	u(u−2)3
ln|		|=−2ln|x|+2C
	(u−1)2

	u(u−2)3		1
ln|		|=ln|		|+2C
	(u−1)2		x2

	u(u−2)3		2C
|		|=
	(u−1)2		x2

	u(u−2)3		2C
		=
	(u−1)2		x2

I co teraz? Bo raczej nie zdołam wyznaczyć z tego 'u'.. Zostawić to w takiej postaci uwikłanej:

	y   y   ( −2)3 x   x		2C
		=		?
	y   ( −1)2   x		x2

Mariusz: Tak , zostaw to w postaci uwikłanej F(x,y)=C

wakacje: Dzięki wielkie za odpowiedź, zrobione Mam jeszcze wątpliwości co do jednego przykładu, za dużo tego wyszło więc nie ma co sprawdzać linijka po linijce, ale czy miałbyś może odpowiedź do tego przykładu? Rozwiązanie zostawię dla potomnych, może ktoś skorzysta (3x²+2xy−y²)dx+(x²−2xy−3y²)dy=0 (3x²+2xy−y²)dx=−(x²−2xy−3y²)dy

	dy
(3x2+2xy−y2)=−(x2−2xy−3y2)
	dx

dy		3x2+2xy−y2
	=
dx		−(x2−2xy−3y2)

dy		3x2+2xy−y2
	=
dx		−x2+2xy+3y2

dy		3x2+2xy−y2
	=
dx		3y2+2xy−x2

	3+2u−u2
u'x+u=
	3u2+2u−1

	3+2u−u2
u'x=		−u
	3u2+2u−1

	3+2u−u2−u(3u2+2u−1)
u'x=
	3u2+2u−1

	3+2u−u2−3u3−2u2+u
u'x=
	3u2+2u−1

	3+3u−3u2−3u3
u'x=
	3u2+2u−1

du		3+3u−3u2−3u3
	*x=
dx		3u2+2u−1

	3+3u−3u2−3u3
xdu=		dx
	3u2+2u−1

3u2+2u−1		dx
	du=
3+3u−3u2−3u3		x

3u2+2u−1		dx
	du=
3(1+u)−3u2(1+u)		x

3u2+2u−1		dx
	du=
(1+u)(3−3u2)		x

3u2+2u−1
	du=ln|x|+C
3(1+u)(1+u)(1−u)

1	3u2+2u−1
		du=ln|x|+C
3	(1+u)2(1−u)

3u2+2u−1
	du=3ln|x|+C
(1+u)2(1−u)

3u2+2u−1
	du=ln|x3|+C
(1+u)2(1−u)

(u+1)(3u−1)
	du=ln|x3|+C
(u+1)2(1−u)

3u−1
	du=ln|x3|+C
(u+1)(1−u)

	3u−1
∫		du=ln|x3|+C
	(u+1)(1−u)

−ln|u−1|−2ln|u+1|=ln|x³|+C

	1
ln|u−1|+2ln|u+1|=ln|		|+C
	x3

	1
ln|u−1|+ln|(u+1)2|=ln|		|+C
	x3

	1
ln|(u−1)(u+1)2|=ln|		|+C
	x3

	C
(u−1)(u+1)2=
	x3

x³(u−1)(u+1)²=C

	y		y
x3(		−1)(		+1)2=C
	x		x

I to również zostawiam w postaci uwikłanej F(x,y)=C

Mariusz: Wynik masz dobry choć można go jeszcze odrobinę uprościć (y−x)(y+x)²=C

	dy
Jeśli chciałbyś samemu sprawdzić wynik to w miejsce
	dx

	δF   δx
wstawiasz −
	δF   δy

	−(y+x)2+2(y−x)(y+x)
(3x2+2xy−y2)+(x2−2xy−3y2)(−		)=0
	(y+x)2+2(y−x)(y+x)

wakacje: Pochodne cząstkowe obliczyłem, ale pytanie dlaczego pojawia się w tamtym miejscu minus?

Mariusz: Jeżeli masz rozwiązanie równania w postaci F(x,y)=C to różniczka zupełna funkcji F(x,y) będzie wyglądać następująco

	δF		δF
dF=		dx+		dy=0
	δx		δy

δF		δF
	dx+		dy=0
δx		δy

skąd

δF		δF
	dy=−		dx
δy		δx

dy		δF   δx
	=−
dx		δF   δy

wakacje: Ok już rozjaśnione, rozumiem Mam jeszcze pytanie odnośnie takiego przykładu

	dy
xy		=y2+(x+y)2*e−y/x
	dx

Dochodzę do takiej postaci

	eu
		=ln|x|+C
	u+1

I pytanie czy to jest w ogóle dobrze? Bo ciężko mi sprawdzić to na Wolframie, tam chyba wyskakuje rozwiązanie z użyciem funkcji W Lamberta, ale nie umiem jej używać

Mariusz: Wygląda na to że wynik wyszedł ci dobry Zostaw rozwiązanie w postaci uwikłanej a do sprawdzenia

	dy		δF   δx
użyj tego że		=−
	dx		δF   δy

wakacje: Sprawdziłem rozwiązanie i wychodzi że 0=0, także jest okej Co do tego pdf z zadaniami to został mi ostatni przykład, ale mam tam problem z całką, bo nie wiem jak ją policzyć

	du
∫		miałbyś jakąś wskazówkę?
	cos(ln(u))

Mariusz : A jakie równanie rozwiązujesz jako ostatnie ? Na razie jeszcze zostaniemy przy jednorodnych ale tym razem zajmiemy się równaniami postaci

dy		y		y
	=		+g(x)f(		)
dx		x		x

dy		y		y
	=		f(		) , gdzie r=const
dx		x		xr

dy		a1x+b1y+c1
	=f(		)
dx		a2x+b2y+c2

Na to pierwsze równanie działa to samo podstawienie co dla równania jednorodnego, tego którego już rozwiązywałeś To drugie równanie można sprowadzić do równania jednorodnego którego już rozwiązywałeś a można sprowadzić je bezpośrednio do równania o rozdzielonych zmiennych , wtedy narzucającym się podstawieniem jest podstawienie za argument funkcji f Jeżeli chciałbyś to równanie sprowadzić najpierw do jednorodnego to podstawiasz y(x) = u(x)^r To trzecie równanie rozbijasz na przypadki Jeżeli det(A)=0, gdzie A= a₁ b₁ a₂ b₂ to możesz od razu sprowadzić to równanie do równania o rozdzielonych zmiennych podstawieniem u = a₁x+b₁y Jeżeli natomiast det(A)≠0 to stosujesz podstawienie x=u+α y=v+β przy czym stałe α oraz β dobierasz tak abyś dostał równanie jednorodne (aby wyrazy wolne ci się wyzerowały) Stałe α oraz β dostaniesz z rozwiązania układu równań liniowych

wakacje:

	dy		y
To ostatnie równanie to z tego pdf, który podesłałeś: x		=y*cos(ln(		))
	dx		x

No i właśnie mam problem z obliczeniem tej całki z cosinusem, ale patrząc na wynik w Wolframie to zaczynam wątpić w ten przykład Podeślę wynik: https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+of+1%2Fcos%28ln%28x%29%29 Miałbyś jakiś pdf z zadaniami aby sobie poćwiczyć każdy typ równań? Swoją drogą mam też te 2 części Krysickiego i Włodarskiego, także na spokojnie mogę też stamtąd brać zadania, o ile są Daj tylko znać jak wolisz

Mariusz: Z Krysickiego możesz brać zadania ale chyba tych jednorodnych którymi chciałbym się teraz zająć tam nie ma więc musiałbym sam przygotować równania do rozwiązania a to może zająć trochę dłużej czasu niż samo wybieranie ich ze zbiorów

	dy		y
Co do równania x		=ycos(ln(		))
	dx		x

to inną całkę powinieneś dostać

	1
∫		du
	u(cos(ln(u))−1)

a tę całkę łatwo policzyć podstawieniem

Mariusz: Przykład do równania w pierwszej wymienionej postaci

dy		y		x		y
	=		+		cos2(		)
dx		x		1+x2		x

y=ux y'=u'x+u

	x
u'x+u=u+		cos2(u)
	1+x2

	x
u'x=		cos2(u)
	1+x2

u'		1
	=
cos2(u)		1+x2

1		1
	du=		dx
cos2(u)		1+x2

tg(u)=arctg(x)+C u=arctg(arctg(x)+C)+kπ , k ∊ ℤ

y
	=arctg(arctg(x)+C)+kπ , k ∊ ℤ
x

y = xarctg(arctg(x)+C)+kπx , k ∊ ℤ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Przykład do równania w drugiej wymienionej przeze mnie postaci

	2x3
(4x2−10y)dx+(		−15x)dy=0
	y

Sposób 1. (za pośrednictwem równania różniczkowego jednorodnego)

	2x3		dy
(4x2−10y)+(		−15x)		=0
	y		dx

y(x)=z(x)^r , r = const (r jest stałą którą starasz się wyznaczyć) y'=r z(x)^r−1z'(x)

	2x3
(4x2−10zr)+(		−15x)r zr−1z'=0
	zr

	2x3
(4x2−10zr)+r(		−15xzr−1)z'=0
	z

r=2

	2x3
(4x2−10z2)+2(		−15xz})z'=0
	z

(4x²z−10z³)+(4x³−30xz²)z'=0 z=ux z'=u'x+u (4x³u−10u³x³)+(4x³−30x³u²)(u'x+u)=0 (4u−10u³)+(4−30u²)u'x+u(4−30u²)=0 (4−30u²)u'x=30u³−4u+10u³−10u³ (4−30u²)u'x=(40u³−8u)

2−15u2		dx
	du =
20u3−4u		x

15u2−2		4
	du=−		dx
5u3−u		x

A		Bu+C		4
	+		=−		dx
u		5u2−1		x

A(5u²−1)+(Bu+C)u=15u²−2 5Au²−A+Bu²+Cu=15u²−2 A=2 C=0 10+B=15 B=5

2		5u		4
	+		=−		dx
u		5u2−1		x

4		10u		8
	+		=−		dx
u		5u2−1		x

4ln|u|+ln|5u²−1|=−8ln|x|+C ln|u⁴|+ln|5u²−1|+8ln|x|=C ln|u⁴x⁸(5u²−1)|=C ln|(u⁴x⁴)x²(5u²u²−x²)|=C ln|z⁴x²(5z²−x²)|=C y=z² ln|y²x²(5y−x²)|=C |y²x²(5y−x²)|=e^C y²x²(5y−x²)=±e^C y²x²(5y−x²)=C₁ Sposób 2. (bezpośrednio do równania o rozdzielonych zmiennych)

	2x3
(4x2−10y)dx+(		−15x)dy=0
	y

	2x3		dy
(4x2−10y)+(		−15x)		=0
	y		dx

	2x3		dy
(		−15x)		=(10y−4x2)
	y		dx

dy		10y−4x2
	=
dx		2x3   −15x y

dy		y	x2   10−4   y
	=
dx		x	2x2   −15 y

y=ux² y'=u'x²+2xu

	4   10−   u
u'x2+2xu=ux
	2   −15 u

	5u−2
u'x2+2xu=2ux
	2−15u

	5u−2
u'x+2u=2u
	2−15u

	5u−2
u'x=2u(		−1)
	2−15u

	5u−2−2+15u
u'x=2u
	2−15u

	20u−4
u'x=2u
	2−15u

2−15u		1
	du=		dx
2u(20u−4)		x

15u−2		8
	du=−		dx
u(5u−1)		x

5u+(10u−2)		8
	du=−		dx
u(5u−1)		x

	5		2		8
(		+		)du = −		dx
	5u−1		u		x

ln|5u−1|+2ln|u|=−8ln|x|+C₁ ln|5u−1|+ln|u²|+8ln|x|=C₁ ln|x⁸u²(5u−1)|=C₁ ln|x²u²x⁴(5ux²−x²)|=C₁ ln|x²y²(5y−x²)|=C₁ |x²y²(5y−x²)|=e^C₁ x²y²(5y−x²)=±e^C₁ x²y²(5y−x²)=C −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Przykłady do równania w trzeciej postaci (2x+y+1)dx−(4x+2y−3)dy=0

	dy
(2x+y+1)−(4x+2y−3)		=0
	dx

u=2x+y u'=2+y' (u+1)−(2u−3)(u'−2)=0 (u+1)+2(2u−3)=(2u−3)u' 5u−5=(2u−3)u'

2u−3
	u'=1
5u−5

2u−3
	u'=5
u−1

2u−2−1
	u'=5
u−1

	1
(2−		)du=5dx
	u−1

2u−ln|u−1|=5x+C₁ 2u−ln|u−1|−5x=C₁ 2y−x−ln|2x+y−1|=C₁

1
	e2y−x=eC1
|2x+y−1|

1
	e2y−x=±eC1
2x+y−1

1
	e2y−x=C2
2x+y−1

1
	e2y−x=C2
2x+y−1

1
	=C2
(2x+y−1)ex−2y

(2x+y−1)e^x−2y=C Przykład nr 2 (2x−4y+6)dx+(x+y−3)dy=0 x=u+α y=v+β

dy		dy		du
	=		(		)
dx		du		dx

dy		dv
	=		(x−α)'
dx		du

dy		dv
	=
dx		du

	dv
(2(u+α)−4(v+β)+6)+((u+α)+(v+β)−3)		=0
	du

	dv
(2u−4v+2α−4β+6)+(u+v+α+β−3)		=0
	du

2α−4β+6=0 α+β−3=0 2α−4β=−6 α+β=3 α−2β=−3 α+β=3 −α+2β=3 α+β=3 3β=6 β=2 α=1 x=u+1 y=v+2

	dv
(2u−4v)+(u+v)		=0
	du

v=uz v'=z'u+z (2u−4uz)+(u+uz)(z'u+z)=0 u(2−4z)+u(1+z)(z'u+z)=0 2−4z+(1+z)(z'u+z)=0 (1+z)z'u=4z−2−z²−z (1+z)z'u=−z²+3z−2 (1+z)z'u=−(z²−3z+2)

1+z		1
	dz=−		du
z2−3z+2		u

z+1		1
	dz=−		du
(z−1)(z−2)		u

A		B		z+1
	+		=
z−1		z−2		(z−1)(z−2)

A(z−2)+B(z−1)=z+1 A+B=1 −2A−B=1 −A=2 A=−2 B=3

	−2		3		1
(		+		)dz=−		du
	z−1		z−2		u

−2ln|z−1|+3ln|z−2|+ln|u|=C₁

	(z−2)3u
ln|		|=C1
	(z−1)2

	(zu−2u)3
ln|		|=C1
	(zu−u)2

	(v−2u)3
ln|		|=C1
	(v−u)2

	(v−2u)3
|		|=eC1
	(v−u)2

(v−2u)3
	=±eC1
(v−u)2

(v−2u)3
	=C
(v−u)2

(y−2x)3
	=C
(y−x−1)2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Za jakiś czas spróbuję wymyślić kilka równań tej postaci do rozwiązania

Mariusz: Na razie wybierz sobie ze zbioru Krysickiego i Włodarskiego kilka równań z § 8.3 na str 223

	dy		a1x+b1y+c1
Równania typu		=f(		)
	dx		a2x+b2y+c2

Ja spróbuje przygotować kilka równań postaci

dy		y		y
	=		+g(x)f(		)
dx		x		x

(Tutaj aby wymyślić równanie wystarczy wystartować z równania o rozdzielonych zmiennych

	y
i za y wstawić		)
	x

oraz postaci

dy		y		y
	=		f(		) , gdzie r = const
dx		x		xr

(Tutaj aby wymyślić równanie wystarczy wystartować z równania jednorodnego i podstawić y=u^r

Damian#UDM: Rozwiązuje równanie

dy		2y2−xy
	=
dx		x2−xy+y2

	y
Po przekształceniach (użyłem podstawienia u=		, x≠0) otrzymałem równanie
	x

1−u−u2		dx
	=
u*(u2+3u−2)		x

I nie wiem co z lewą stroną zrobić, bo jak rozbiję na ułamki proste to trzymam straszne pierwiastki Czy popełniłem gdzieś błąd?

wakacje: Też miałem własnie wątpliwości w tym przykładzie Damian i możesz rzucić okiem na 7 czerwca 1:51, już wspominałem coś o tym przykładzie

	u2−u+1
Ogólnie powinieneś z lewej dojść do całki ∫		du, potem rozkład na sumę
	u(u−1)(u−2)

ułamków prostych i dalej łatwo Dosyć blisko jesteś tej postaci tylko tam znaki zamienione

Damian#UDM: No znowu głupie moje błędy, masakra z tym Dobra, kończę ten plik i chce nauczyć się tych niejednorodnych, uzmienniania tych stałych i wyliczania wyników Bo Bernoulliego, drugiego rzędu wszystko ogarniam tylko jak to niejednorodne zrobić to już jest problem

Damian#UDM: przykładu z e^−y_x to nie mam pomysłu jak obliczyć całkę z du Mam takie równanie po przekształceniach

u*eu		dx
	du=
(u+1)2		x

wakacje: Ja staram się trzymać tego co napisał Mariusz, także na razie wolę nie wybiegać aż tak jak Ty Co prawda kiedyś już robiłem jakieś przykłady z tym uzmiennianiem stałych ale nic nie pamiętam Nad nią też trochę posiedziałem, spróbuj przez części

Damian#UDM: No mnie terminy gonią, 2 dni i muszę to ogarniać

wakacje: W sumie zależy jak obszerny temat masz do ogarnięcia, ale jeśli tylko z tego co tutaj po trochu ruszamy, to myślę że nie jest to takie złe.. Ja na szczęście na razie żadnych terminów, na ten moment najdłuższe wakacje także trzeba wypocząć i zastanowić się czy pchać się na studia w tych czasach

Damian#UDM: Myślę, że dam radę, grunt to liczyć te zadanie i ogarniać schematy ogólnie panujące

Damian#UDM: Mam pytanie: Czy zawsze z równania różniczkowego Bernoulliego muszę otrzymać równanie liniowe niejednorodne? Zadanie 6. Rozwiąż równanie różniczkowe Bernoulliego x*y'=y+y² Użyłem podstawienia a=y¹⁻²=y⁻¹=¹_y Otrzymałem równanie −a'*x−a−1=0 i rozwiązałem je jak równanie o zmiennych rozdzielonych i myślałem, że źle bo nie zrobiłem tego jak rozwiązywanie równania niejednorodnego. Poźniej w internecie znalazłem trochę inny prawie taki sam przykład i tam potem rozwiązali to zadanie za pomocą pochodnej iloczynu. Więc czy jest to pojedynczy przypadek, że mogę to zadanie rozwiązać za pomocą równania o zmiennych rozdzielonych nie korzystając wcześniej z równania liniowego niejednorodnego?

wakacje: Nie chce się wypowiadać na ten temat jeśli nie jestem pewien że umiem, ale tak w ogóle to te

	dy
równanie można doprowadzić też do takiej postaci		=g(x)f(y):
	dx

x*y'=y+y²

dy		1
	=(y+y2)*
dx		x

A to już zwykłe równanie rożniczkowe o zmiennych rozdzielonych, może to ma związek z tym?

Damian#UDM: Znaczy znalazłem w necie informacje, że jak użyjemy już tego podstawienia to wtedy rozwiązujemy równanie liniowe niejednorodne, a tutaj już od razu wychodzi o zmiennych rozdzielonych

Damian#UDM: Rozwiąż równanie różniczkowe

	y		5
y'+		=
	x2		x3

Jest to równanie liniowe niejednorodne. CORJ y=C*e^1_x Rozwiązałem to metodą uzmiennienia stałej C.

	5
C(x)=e−1x*(		+5)+C1, C1 ∊R
	x

CORNJ

	5
y=		+5+C1*e1x , C1 ∊R
	x

Czy otrzymałem poprawne rozwiązanie?

wakacje: tak, wyszło mi tyle samo i na dodatek przeprowadziłem sprawdzenie także wszystko się zgadza

Damian#UDM: Miałem wątpliwości, ponieważ z 5 punktów rozwiązanie tego zadania zostało ocenione na 1,5 pkt. I nie mam pojęcia czemu https://drive.google.com/drive/folders/1sfXww50NOuCyIc9WARWl3jphJAjEng4T?usp=sharing

Damian#UDM: y=x*(y')²−2*(y')³ Co to jest za typ równania ?

Damian#UDM: Lagrange'a lub Clairita

Damian#UDM: Clairauta, jakoś tak to się pisze

Damian#UDM: Mam pytanie, czy takie rozwiązanie jest poprawne? Mam równanie różniczkowe Bernoullego y'+y=x*y⁴ Ale rozwiąże je za pomocą pochodnej iloczynu y'+y=x*y⁴ |*e^x y'*e^x+y*(e({x})'=x*e^x*y⁴ (y*e^x)'=x*e^x*y⁴ | ∫ y*e^x=y⁴∫x*e^x

	1
y*ex=y4*(x*ex−ex+C) , C∊R | *
	ex*y4

1
	=x−1+C*e−x
y3

	1
y=
	3√x−1+C*e−x

Czy to jest poprawne rozwiązanie?

Damian#UDM:

	1
Jeśli zrobię z podstawieniem a=		to otrzymam
	y3

	1
y=
	3√x+13+C*e3x

Damian#UDM: Rozwiąż równanie różniczkowe y*y''=2*(y')²