matematykaszkolna.pl
Równania różniczkowe Damian#UDM: Równania różniczkowe 1. zadanie Rozwiąż równanie y' − 3y = e3x , y(0)=1 y'=dydx dydx−3y=e3x | *dx dy −3ydx=e3xdx dy=[e3x+3y]dx | ∫ ∫dy=∫[e3x+3y]dx y=13e3x+3xy+C y−3xy=13e3x+C y*(1−3x)=13e3x+C | : (1−3x)
 e3x+C 
y=

− całka ogólna
 3(1−3x) 
y=1 , x0=0
 e0+C 
1=

 3(1−0) 
C=3−1=2
 e3x+2 
y=

− całka szczególna
 3−9x 
Czy jest ok ?
26 maj 13:05
wredulus_pospolitus: wybacz, ale to jakieś brednie są ∫ 3y dx 3yx zauważ, że y to de facto y(x) .... niech y(x) = x2 czy prawdą jest, że x3 = ∫ 3x2 dx = ∫ 3y(x) dx = 3y(x)*x = 3x3
26 maj 13:14
Filip: to TY piszesz BREDNIE, bo ∫3y dx = 3yx KEK
26 maj 13:16
wredulus_pospolitus: druga sprawa ... wyszedł Ci 'jakiś' wynik, czy go sprawdziłeś?
 3e3x(3−9x) + 9e3x + 18 
y' =

 (3−9x)2 
 3e3x(3−9x) + 18(3−9x) 
3y =

 (3−9x)2 
no jakoś średnio mi wychodzi, że y'−3y = e3x , nie sądzisz
26 maj 13:17
wredulus_pospolitus: @Filip ... błagam Cię
26 maj 13:18
ICSP: Zacznij od ustalenia jaki to typ równania. Potem stosujesz sposób rozwiązania właściwy dla danego typu.
26 maj 13:26
Damian#UDM:
 e3x+2 
3y=

 1−3x 
 e3x(1−3x)+e3x+2 e3x+2 
y' =

=e3x+

 1−3x 1−3x 
y'−3y=e3x
 e3x+2 e3x+2 
e3x+


=e3x
 1−3x 1−3x 
e3x=e3x L=P Jak podstawie do równania to jest ok emotka
26 maj 13:28
wredulus_pospolitus: @Filip równość zachodziłaby tylko i wyłącznie w przypadku gdyby zmienna 'y' nie była zależna od zmiennej 'x' co nie ma miejsca w tym przypadku ponieważ: I. nie zachodziłaby równość (lewa strona "nie ma nic z x'sem" więc nie może być równa e3x)
 dy 
II. masz pięknie napisane: y' =

<−− czyli 'y' jest funkcją zależną od zmiennej 'x'
 dx 
26 maj 13:29
wredulus_pospolitus: Damian −−− ciekawie i BARDZO NIEPRAWIDŁOWO liczysz pochodną
26 maj 13:31
wredulus_pospolitus:
 e3x(1−3x) + (e3x+2)*9 
y' =

 (1−3x)2 
26 maj 13:32
wredulus_pospolitus: poprawka ... nie 9 tylko 3 w liczniku ... ale to nie zmienia kwestii, że błędnie policzona pochodna
26 maj 13:32
wredulus_pospolitus: druga sprawa starasz się tutaj liczyć (3y)' = 3y', a nie y'
26 maj 13:35
Damian#UDM: No zapomniałem o kwadracie na dole, znowu późne liczenie nie pomogło
26 maj 13:43
wredulus_pospolitus: nie tylko o kwadracie ... jeszcze jest kwestia stałych których Ci brakuje ... ale pa licho z nimi "klu" całego rozwiązania to napisanie ∫ 3y(x) dx = 3y(x)*x co jest wierutną bzdurą i widząc to profesor złapałby się za głowę
26 maj 13:45
wredulus_pospolitus: jak ja bym to równanie rozwiązał: y' − 3y = e3x //*e−3x e−3xy' − 3e−3x*y = 1 zauważ, że lewa strona to nic innego jak pochodna iloczynu: u*v' + u' *v gdzie u = e−3x −−> u' = −3e−3x v = y −−−> v' = y' więc mamy: (e−3x*y)' = 1 −−−> e−3xy = x + C −−> y = xe3x + Ce3x i jedziesz z warunkiem początkowym
26 maj 13:59
Mariusz: y' − 3y = e3x , y(0)=1 To jest równanie liniowe możesz rozwiązywać je rozdzielając zmienne w równaniu jednorodnym a następnie rozwiązać niejednorodne uzmiennieniem stałych Możesz też zauważyć że lewa strona równania bardzo przypomina wzór na pochodną iloczynu Wystarczyłoby pomnożyć równanie przez nieznaną funkcję i porównać lewą stronę równania z wzorem na pochodną iloczynu y' − 3y = e3x , y(0)=1 y' − 3y=0 y'=3y
y' 

=3
y 
dy 

=3dx
y 
ln|y|=3x+C1 |y|=eC1e3x y=±eC1e3x y=C2e3x y(x)=C(x)e3x y' − 3y = e3x C'(x)e3x+3C(x)e3x−3C(x)e3x=e3x C'(x)e3x=e3x C'(x)=1 C(x)=x Całka szczególna równania niejednorodnego to ys=xe3x Całka ogólna równania jednorodnego to yj =Ce3x Całka ogólna równania niejednorodnego jest sumą całki ogólnej równania jednorodnego oraz całki szczególnej równania niejednorodnego y=Ce3x+xe3x Ponieważ jest to zagadnienie Cauchego to wstawiamy warunek początkowy do całki ogólnej równania niejednorodnego aby obliczyć stałą y' − 3y = e3x , y(0)=1 Wstawiając warunek początkowy do całki ogólnej równania niejednorodnego otrzymujemy 1=C zatem y=e3x+xe3x Gdyby kerajsy nie przeszkadzały to już jakiś czas temu bym ci poćwiczył z tobą rozwiązywanie takich równań niby dali ci książki i co przeczytałeś je ?
26 maj 14:01
wredulus_pospolitus: alternatywą do ogólnej wersji postępowania pokazaną przez Mateusza byłoby wykorzystanie równania charakterystycznego do trochę (ale nieznacznie) szybszego wyznaczenia rozwiązania ogólnego równania jednorodnego. y'−3y = 0 r − 3 = 0 −−−> r = 3 −−−> y = C*e3x
26 maj 14:10
Damian#UDM: Bardzo fajne sposoby. Wczoraj zacząłem naukę z materiałami lecz widzę, że to jeszcze jest za trudne. Lecz powoli i do tego dojdę emotka Dziękuje wam za pomoc emotka Mariusz książek nie przeczytałem i pewnie wszystkich nie przeczytam lecz na pewno do nich zajrzę i poszukam wiedzy oraz sposobów rozwiązań. Mam dwa fajnie przygotowane pliki z pewnych studiów i powoli się uczę emotka Na pewno będę korzystał z waszej pomocy. Dziękuję! emotka Wszystkiego najlepszego życzę wszystkim mamom pracującym tutaj! emotka
26 maj 14:24
Damian#UDM: 2. Zadanie Rozwiązać równanie y'' + 5y' + 6y = x + 1 Jak to rozwiązać? emotka
26 maj 19:23
Mariusz: Najpierw jednorodne y''+5y'+6y = 0 Jeśli wstawisz do równania y=eλx to otrzymasz dwie całki szczególne równania jednorodnego Jeśli chodzi o całkę szczególną równania niejednorodnego to zakładasz że jest ona postaci ys=C1(x)e−3x+C2(x)e−2x i rozwiązujesz taki układ równań e−3xC1'(x)+e−2xC2'(x)=0 −3e−3xC1'(x)−2e−2xC2'(x)=x+1 Po rozwiązaniu tego układu równań wynik całkujesz Całka ogólna równania niejednorodnego jest sumą całki ogólnej równania jednorodnego i całki szczególnej równania niejednorodnego
26 maj 20:00
Damian#UDM: Dziękuje Mariusz za pomoc! emotka Widzę, że przede mną dużo pracy emotka CHciałbym na początek ogarnąć równania liniowe rzędu pierwszego oraz rzędu drugiego metodą sprowadzania do rzędu pierwszego. Jeśli ktoś ma jakieś zadania to proszę je tutaj wrzucać emotka
26 maj 21:48
Mariusz: Wiesz co kiedyś wrzuciłem spis tematów jakimi można by się zająć Do równań różniczkowych potrzebne są pochodne i całki − w tym całki podwójne oraz wzór Leibniza na różniczkowanie pod znakiem całki aby wykazać pewne własności przekształcenia Laplace Przyda się kilka całek nieelementarnych jak funkcja Γ Do odwracania przekształcenia Laplace może być przydatna metoda residuów Z algebry przyda się rozwiązywanie równań wielomianowych , rozkład funkcji wymiernej właściwej na sumę ułamków prostych ,liczby zespolone , rachunek macierzowy w tym wartości i wektory własne Przydatne też mogą być rozkłady macierzy takie jak rozkład LU, diagonalizacja czy rozkład Jordana Co do równań różniczkowych to wypisałem sobie tematy którymi można by się zająć 0. Pojęcia wstępne np rząd równania całka równania zagadnienie Cauchyego 1. Równanie o rozdzielonych zmiennych 2. Równanie jednorodne 3. Równanie liniowe 4. Równanie Bernoulliego 5. Równanie Riccatiego *gdy znana jest całka szczególna może być sprowadzone do liniowego pierwszego rzędu *gdy nie jest znana całka szczególna może być sprowadzone do liniowego drugiego rzędu ale wtedy już nie jest aż tak łatwo je rozwiązać *jest jeszcze tzw równanie Riccatiego specjalne i w pewnych szczególnych przypadkach może być ono sprowadzone do równania o rozdzielonych zmiennych 6. Równanie zupełne , czynnik całkujący 7. Równanie Lagrange *różniczkowanie stronami , wprowadzenie parametru, sprowadzenie do liniowego pierwszego rzędu 8. Równania drugiego rzędu sprowadzalne do równań pierwszego rzędu 9. Równanie liniowe wyższego rzędu o stałych współczynnikach 10. Równanie Eulera *równanie liniowe które podstawieniem może być sprowadzone do równania liniowego o stałych współczynnikach 11. Obniżanie rzędu równania liniowego 12. Całkowanie równań szeregami (np metoda Frobeniusa) 13. Uzmiennianie stałych *rozwiązanie równania liniowego niejednorodnego przez rozwiązanie pewnego układu równań 14. Układy równań różniczkowych *metoda eliminacji *metoda Eulera (obliczanie wartości i wektorów własnych lub jak kto woli eksponenty macierzy) *metoda całek pierwszych − rozwiązywanie układów równań w postaci symetrycznej uzmiennianie stałych dla układów równań liniowych 15. Rachunek operatorowy *przekształcenie Laplace Tak więc dobrze by było przećwiczyć te tematy po kolei (Kiedyś ABC chwalił się że miał równania różniczkowe w liceum więc napisałem taki spis tematów aby pokazać co usunęli z programu nauczania)
26 maj 22:03
Maciess: Tutaj też elegancko do rozwiązania szczegolnego sprawdzi się metoda przewidywań. Widać że prawa strona jest w postaci e0(x+1). 0 nie jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego, więc rozwiązanie będzie postaci φ=(Ax+B)e0 Wstawiasz do równania i porównujesz współczynniki wielomianu dostajac układ na A i B.
26 maj 22:07
wakacje: Damian ja kiedyś sobie ćwiczyłem na tym pdf, za dużo tego nie ma ale pamiętam że dosyć sprawnie robiło mi się te przykłady i jak na moje początki to były one w porządku http://staff.uz.zgora.pl/mlysakow/pliki/bud_lista1.pdf
26 maj 22:14
Mariusz: Jeżeli chodzi o mnie to sugerowałbym ci ćwiczyć rozwiązywanie równań w takim porządku jaki wymieniłem bądź najpierw przećwiczyć rozwiązywanie równań następujących typów 1. Równanie o rozdzielonych zmiennych 2. Równanie liniowe pierwszego rzędu 3. Równanie zupełne a następnie gdy przećwiczysz powyższe typy równań mógłbyś poćwiczyć sprowadzanie pozostałych typów równań pierwszego rzędu wydzielanych w podręcznikach do jednego z tych wymienionych powyżej typów równań (Jeśli chodzi o sposoby sprowadzania równań do innych typów to mamy tutaj np podstawienie , czynnik całkujący , wprowadzenie parametru) Dopiero gdy przećwiczysz rozwiązywanie równań rzędu pierwszego to proponuję abyś przeszedł do rozwiązywania równań drugiego rzędu
26 maj 22:21
Mariusz: Maciess ja akurat przewidywania nie lubię Mniej równań można rozwiązać tym sposobem a poza tym jest dużo zapamiętywania bez uzasadnienia choć czasem potrafi skrócić obliczenia Poza tym on źle zabiera się za naukę skacze po tematach co nie jest zbyt efektywnym sposobem nauki
26 maj 22:27
Damian#UDM: wakacje dziękuję za ten plik, właśnie kończę 1. zadanie, zobaczymy jak kolejne pójdą emotka
27 maj 11:37
Damian#UDM: Mariusz obecnie skacze tak, ponieważ sprawdzam co mi najłatwiej i najszybciej do głowy wejdzie, lecz widzę, że nie będzie łatwo.
27 maj 11:38
Ma: Masz złe podejście do nauki , w ten sposób niewiele się nauczysz a już na pewno nauka nie będzie efektywna Jak chcesz sobie poćwiczyć to możesz sobie wybrać z tego pdf kilka równań o rozdzielonych zmiennych i liniowych pierwszego rzędu z tego pdf co podesłał wakacje Jeżeli będziesz chciał rozwiązywać też równania jednorodne to spróbuj zapisać
 dy y dx x 
je w postaci

=f(

) bądź

=f(

)
 dx x dy y 
wtedy może łatwiej zauważysz że jedno z podstawień y=ux bądź x=uy powinno sprowadzić równanie jednorodne do równania o rozdzielonych zmiennych Jeżeli chodzi o mnie to nieco inaczej ułożyłbym zadania Z tego widziałem to tam tylko jedna lista jest z równań różniczkowych a przydałoby się równania różniczkowe omawiać np zgodnie ze spisem który podałem we wpisie z 26 maj 2021 22:03
27 maj 12:47
Damian#UDM: Ja myślę, że niedługo Mariusz odezwę się do Ciebie na maila emotka . 3. zadanie Rozwiąż równanie
 2x−1 
y'=

*y
 x2 
Moje rozwiązanie
 2x−1 dx 
y'=

*y | *

 x2 y 
dy 2x−1 

=

dx , w tym momencie mam równanie o zmiennych rozdzielonych, całkuje je
y x2 
stronami
 dy 2x−1 

=∫

dx
 y x2 
 dx dx 
ln|y|=2∫

−∫

 x x2 
ln|y|=2ln|x|+1x+C I teraz nie wiem czy dalej będzie ok (1) y=e2ln|x|+1x+C lub próbowałem tak (2) ln|y|=ln|x2|+ln|e1x|+ln|C| ln|y|=ln|x2*e{1x*C| i wtedy y = ±x2*e1x*C Myślę, że (1) jest ok. A jak wy uważacie?
27 maj 16:10
wakacje: hmm, ja bym zrobił tak:
 2x−1 
y'=

*y
 x2 
dy y(2x−1) 

=

dx x2 
dyx2=y(2x−1)dx
dy 2x−1 

=

dx
y x2 
1 2x 1 

dy=(


)dx / całkujemy obustronnie
y x2 x2 
 1 2 1 

dy=∫(


)dx
 y x x2 
 1 1 

dy=2∫

dx−∫x−2dx
 y x 
 1 
ln|y|=2ln|x|+

+C
 x 
 1 
ln(y)=ln(x2)+

+C
 x 
 1 
y=eln(x2)+

+C
 x 
gdzie oczywiście: eln(x2)=x2 oraz eC to stała więc: y=C1*x2*e1/x, gdzie eC=C1
27 maj 16:45
Damian#UDM: Równania liniowe I rzędu i jednorodne myślę, że w miarę ogarniam, z niejednorodnymi już na pewno jest problem, gdyż jest tam o wiele więcej roboty. W takim razie mam podobnie. Dziękuje wakacje za Twoje rozwiązanie emotka
27 maj 17:07
Damian#UDM: Jak z takiego równania |cos(y)|=|C*cos(x)| wyznaczyć y ?
27 maj 17:15
wakacje: cos(y)=C*cos(x) ⇔ arccos(cos(y))=arccos(C*cos(x)) ⇔ y=arccos(C*cos(x)) swoją drogą zastanawiają mnie wartości bezwzględne w takim równaniu różniczkowym jak powinno się do nich podchodzić? możemy je bezkarnie opuszczać czy trzeba rozpatrywać przypadki? tutaj rozumiem to jako, że: |cos(y)|=|C*cos(x)| ⇔ cos(y)=C*cos(x) v cos(y)=−C*cos(x), gdzie C i −C jest stałą, zatem znak minusa możemy pominąć
27 maj 17:25
Damian#UDM: No mnie to też zastanawia czy właśnie można je sobie tak bezkarnie pomijać emotka Dziękuję za pomoc.
27 maj 17:37
Mariusz: Ad 27 maj 2021 17:07 Jeżeli chodzi o równania liniowe niejednorodne to aby je rozwiązać musisz oprócz rozwiązania równania jednorodnego znaleźć całkę szczególną równania niejednorodnego i to jest ta dodatkowa robota Podczas znajdowania całki szczególnej w pewien sposób korzystasz z tego że postać lewej strony równania różniczkowego liniowego pierwszego rzędu jest podobna do wzoru na pochodną iloczynu Mając rozwiązanie równania liniowego jednorodnego zakładasz że całka szczególna równania liniowego niejednorodnego jest w postaci ys(x)=C(x)yj(x) gdzie C(x) nieznana funkcja ys całka szczególna równania niejednorodnego yj całka szczególna równania jednorodnego Co do uzasadnienia dlaczego można opuszczać wartość bezwzględną zaprezentowanego przez wakacje to nie widzę do czego można by się przyczepić
27 maj 18:31
Mariusz: Tak jak ci wcześniej napisałem wszystkie wydzielane w podręcznikach typy równań różniczkowych pierwszego rzędu mogą być sprowadzone do jednego z trzech następujących typów równań 1. Równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych 2. Równanie różniczkowe liniowe niejednorodne 3. Równanie zupełne więc proponuję zająć się najpierw tymi typami równań różniczkowych Masz na razie rozdzielone zmienne Wkrótce wrzucę też liniowe niejednorodne https://pdfhost.io/v/m.~ozyhz8_rr1_rozdzielone_zmiennepdf.pdf
28 maj 12:14
Damian#UDM: Dziękuje Mariusz za plik z zadaniami, niedługo z nim będę działał emotka A teraz 4. zadanie Rozwiąż równanie jednorodne (y−2x)*y'=2y+x Użyłem podstawienia u=yx Otrzymałem równanie (u−2)*(u'*x+u)=2u+1 Przekształciłem je do równania o zmiennych rozdzielonych
2−u dx 

du=

u2−4u−1 x 
Przekształciłem dalej do postaci
 C 
|u2−4u−1|=|

|
 x 
dalej
 C 
(u−2+5)(u−2−5)=

 x 
Tutaj już nie wiem co zrobić, proszę o pomoc emotka
28 maj 22:47
Damian#UDM: 5. zadanie Rozwiąż równanie jednorodne (x+y)*y'−2y=0
 y 
Użyłem podstawienia u=

 x 
Po przekształceniach otrzymałem równanie o zmiennych rozdzielonych
u+1 dx 

du=

u−1 x 
Następnie otrzymałem eu*(u−1)2=x*C, C∊R I tutaj również nie wiem co dalej, wydaje mi się, że dobrze wszystko policzyłem. Zapraszam do pomagania emotka
29 maj 00:13
Mariusz: Wcześniejszego nie sprawdzałem ale od momentu gdzie masz rozdzielone zmienne
2−u dx 

du=

u2−4u−1 x 
−2(2−u)) dx 

du=−2

u2−4u−1 x 
2u−4 dx 

du=−2

u2−4u−1 x 
ln|u2−4u−1|+2ln|x|=C1 ln|u2−4u−1|+ln|x2|=C1 ln|u2x2−4ux2−x2|=C1 ln|y2−4xy−x2|=C1 |y2−4xy−x2|=eC1 y2−4xy−x2=±eC1 y2−4xy−x2=C I to jest rozwiązanie w postaci uwikłanej Aby otrzymać rozwiązanie w postaci jawnej rozwiązujesz równanie kwadratowe 5. Tutaj wracasz do poprzedniej zmiennej Po powrocie do poprzedniej zmiennej dobrym pomysłem jest sprawdzenie rozwiązania przez wstawienie go do równania
29 maj 01:22
Mariusz: 29 maj 2021 00:13 Sprawdź jeszcze swoje obliczenia bo powinieneś dostać inne równanie o rozdzielonych zmiennych
29 maj 01:54
Damian#UDM:
 1 1 
No w 4. głupi błąd zrobiłem bo zamiast

napisałem

, ale już poprawiłem emotka
 x2 x 
Czyli teraz tam mam (y−(2+5)x)(y−(2−5)x)=C i co dalej w takim wypadku ? emotka
29 maj 09:25
Damian#UDM: No i w 5. też głupi błąd przy mnożeniu, niestetyemotka
29 maj 09:31
Damian#UDM: Teraz w 5. otrzymałem
u+1 dx 

du=

, teraz powinno być ok
u−u2 x 
29 maj 09:38
Mariusz: No ok Teraz wystarczy scałkować obustronnie i nawet nie trzeba stosować schematycznego rozkładu na sumę ułamków prostych z współczynnikami nieoznaczonymi bo wystarczy w odpowiedni sposób zapisać licznik np pochodna mianownika to 1−2u zatem licznik możesz zapisać jako (1−2u)+3u i wtedy po skorzystaniu z liniowości całki licznik skróci ci się z mianownikiem
29 maj 11:33
Mariusz: "(y−(2+5)x)(y−(2−5)x)=C i co dalej w takim wypadku " Teraz możesz zostawić rozwiązanie w postaci uwikłanej albo je rozwikłać rozwiązując równanie kwadratowe
29 maj 12:05
Damian#UDM: Dobrze, czyli rozwiązanie w postaci uwikłanej też jest ok emotka Co do 29 maj 2021 11:33 to oczywiście takie całki ogarniam i nie będzie z tym żadnego problemu emotka
29 maj 14:29
Damian#UDM: W 4. wyszło mi na końcu
y x C 

+

=

+2 , mam to tak zostawić? To również jest rozwiązanie w postaci
x y x 
uwikłanej?
29 maj 14:45
Damian#UDM: Rozwiązanie jawne, czyli y=y(x) Rozwiązanie uwikłane, czyli y=h(x,y) rozumiem emotka
29 maj 14:48
Mariusz: Jeżeli chodzi o zadanie 4. to spójrz na wpis z 29 maj 2021 01:22 tam masz rozwiązanie równania w postaci uwikłanej
29 maj 14:57
wakacje: ja bym taką postać (y2−4xy−x2=C) doprowadził do innej postaci poprzez dopełnienie do kwadratu zupełnego: y2−4xy−x2=C y2−4xy+4x2=5x2+C (y−2x)2=5x2+C |y−2x|=5x2+C y−2x=±5x2+C y=±5x2+C+2x co do całego postu to powiem, że przy okazji również korzystam z Twoich porad Mariusz i coś tam staram się poduczyć z tych równań różniczkowych emotka
29 maj 19:15
Mariusz: Damian , wakacje Jak przećwiczycie te tematy które uwzględniłem w spisie z 26 maj 2021 22:03 to już będzie spory postęp no ale nie za wiele od razu poza tym jeśli chcemy nauczyć się rozwiązywać równania różniczkowe to najlepiej jest się uczyć je rozwiązywać w odpowiedniej kolejności Jak wam się skończą równania to mogę przygotować kolejny zestaw
29 maj 20:02
wakacje: Mariusz, ja właśnie trzymam się tego wpisu i postanowiłem że będę po kolei się uczył tego, co tam wypisałeś, bo samemu to tak naprawdę tyle tego jest, że nie wiadomo za co się zabrać na ten moment odświeżam sobie pamięć i kończę te dwa pierwsze zadania z tego pdf, który tutaj podsyłałem (te dwa zadania to równania o zmiennych rozdzielonych oraz równania jednorodne) skończę te dwa zadania i zabiorę się za ten pdf, który wrzuciłeś 28 maja o 12:14
29 maj 20:55
wakacje: swoją drogą, robię już któryś raz zadanie 5 i coś mi ciągle nie pasuje.. zamieszczę swoje rozwiązanie, od momentu, w którym mamy:
 u+1 dx 

du=

 u−u2 x 
 1−2u+3u dx 

du=∫

 u−u2 dx 
ln|u−u2|−3ln|u−1|=ln|x|+C ln|u(u−1)|−3ln|u−1|=ln|x|+C ln|u|+ln|u−1|−3ln|u−1|=ln|x|+C ln|u|−2ln|u−1|=ln|x|+C ln|u|−ln|(u−1)2|=ln|x|+C
 u 
ln|

|=ln|x|+C
 (u−1)2 
 u 

=Cx
 (u−1)2 
u=Cx(u−1)2 u=Cx(u2−2u+1) u=Cxu2−2Cxu+Cx Cxu2−(2Cx+1)u+Cx=0 /:Cx
 2Cx+1 
u2

u+1=0
 Cx 
 2Cx+1 2Cx+1 
u2−(

)u=−1 /+(

)2
 Cx 2Cx 
 2Cx+1 2Cx+1 1 
u2−(

)u+(

)2=−1+(1+

)2
 Cx 2Cx 2Cx 
 2Cx+1 4Cx+1 
(u−(

))2=

 2Cx 4C2x2 
 2Cx+1 4Cx+1 
|u−

|=

 2Cx 2Cx 
 2Cx+1 4Cx+1 
u−


/*2Cx
 2Cx 2Cx 
2Cxu−2Cx+1=±4Cx+1 2Cxu=±4Cx+1+2Cx−1
 ±4Cx+1+2Cx−1 
u=

 2Cx 
 y ±4Cx+1+2Cx−1 

=

 x 2Cx 
 y ±4Cx+1+2Cx−1 

=

 x 2Cx 
 ±4Cx+1+2Cx−1 
y=

 2C 
całego rozwiązania nie sprawdzajcie, bo za dużo tego, ale skonfrontujcie proszę końcową postać funkcji ze swoimi wynikami czy tak Wam to wyszło?
29 maj 21:35
Mariusz: Do tego momentu rozwiązywałem tak samo
 u 
ln|

|=ln|x|+C1
 (u−1)2 
 u 
ln|

|−ln|x|=C1
 (u−1)2 
 u 
ln|

|=C1
 (u−1)2x 
 ux 
ln|

|=C1
 (u−1)2x2 
 ux 
ln|

|=C1
 (ux−x)2 
 y 
ln|

|=C1
 (y−x)2 
 y 
|

|=eC1
 (y−x)2 
U{y}{(y−x)2=±eC1 U{y}{(y−x)2=C U{y}{(y−x)2=C y=C(y−x)2 y=Cy2−2Cxy+Cx2 Cy2−(2Cx+1)y+Cx2=0 (2Cx+1)2−4C2x2=(2Cx+1−2Cx)(2Cx+1+2Cx) (2Cx+1)2−4C2x2=(1+4Cx)
 2Cx+1±1+4Cx 
y=

 2C 
wakacje próbowałeś samodzielnie sprawdzić rozwiązanie wstawiając je do równania ? (x+y)*y'−2y=0 Rozwiązanie w postaci uwikłanej F(x,y) = C sprawdzasz następująco
 
δF 

δx 
 
(x+y)(−

)−2y=0
 
δF 

δy 
 
gdybyś miał rozwiązanie w postaci jawnej x(y) ≠ const to mógłbyś to równanie sprawdzić tak
 1 
(x+y)

−2y=0
 x'(y) 
30 maj 10:58
Mariusz: wakacje ,błąd masz gdy z równania
 2Cx+1 4Cx+1 
u −


 2Cx 2Cx 
przechodzisz do równania 2Cxu−2Cx+1=±4Cx+1 Otóż po przemnożeniu powinieneś dać nawias w następującym miejscu 2Cxu−(2Cx+1)=±4Cx+1
30 maj 12:56
wakacje: Rzeczywiście, widzę swój błąd. Zastanawiał mnie ten przykład, bo sprawdzałem sobie to równanie w Wolframie, ale kompletnie inne rozwiązanie tam wyskakiwało i stąd moje wątpliwości. Możliwe że po prostu źle zinterpretował Wolfram to równanie.. Mam pytanie co do zapisu x(y) − czy jest to wymienne z zapisem y(x)?
 2Cx+1±4Cx+1 
Wydaje mi się że nasza forma, czyli y=

jest to y(x), zatem pisząc x(y) nie
 2C 
powinniśmy z tej postaci wyznaczyć "x"? Pytam bo próbowałem sprawdzić to równanie i wyszła mi jakąś kompletna bzdura, więc dałeś mi do myślenia
30 maj 17:28
Mariusz: To raczej będą funkcje odwrotne , ale rozwiązanie x(y) będzie poprawne
30 maj 18:01
Mariusz: Rozwiązanie możesz przedstawiać w następujących postaciach Rozwiązanie w postaci uwikłanej F(x,y)=C Zwłaszcza gdy przedstawienie rozwiązania będzie trudnym zadaniem bądź będzie wymagało użycia jakichś nieznanych tobie funkcji nieelementarnych Rozwiązanie w postaci jawnej x(y) = f(y) Zwłaszcza gdy obliczenie funkcji odwrotnej będzie trudnym zadaniem bądź będzie wymagało użycia jakichś nieznanych tobie funkcji nieelementarnych Rozwiązanie w postaci jawnej y(x) = f(x)
30 maj 18:11
Mariusz: "Wydaje mi się że nasza forma, czyli ... " Jest tak jak ci się wydaje Twoje rozumowanie jest poprawne
30 maj 18:21
wakacje: Co do sposobów przedstawienia postaci końcowej to do tej pory były dosyć łatwe przykłady i zawsze doprowadzałem je do postaci jawnej y(x)=f(x), bo zostawiając w postaci uwikłanej to jakoś mam wrażenie że zadanie nie jest rozwiązane do końca.. Co do sprawdzenia poprawności rozwiązania to przyjąłem sobie, że C=1, z tego wyszła mi funkcja
 1 4x+1 
y=x+

+

, policzyłem y', podstawiłem i wyszło że L=P, także jest ok
 2 2 
30 maj 20:00
wakacje: Zastanawia mnie kolejny przykład, mamy do rozwiązania takie równanie różniczkowe:
 dy 
x

=y+y2−x2
 dx 
dy y 

=

+(y/x)2−1
dx x 
 y 
u=

, y=u*x, y'=u'x+u
 x 
u'x+u=u+u2−1
du 

x=u2−1
dx 
du dx 

=

u2−1 x 
ln|u+u2−1|=ln|x|+C |u+u2−1|=C*|x| u+u2−1=Cx u2−1=(Cx−u) u2−1=(Cx)2−2Cxu+u2 2Cxu=(Cx)2+1
 C2x2+1 
u=

 2Cx 
y C2x2+1 

=

x 2Cx 
 C2x2+1 
y=

 2C 
Na Wolframie wychodzą bodajże funkcje hiperboliczne a z tym to kompletnie nie wiem o co chodzi Jeśli jest ok to zostaje mi jeszcze jeden przykład i potem zabieram się za ten pdf, który podesłałeś
30 maj 20:16
Mariusz:
 du 
W Wolframie są funkcje hiperboliczne bo tak on liczy całkę

 u2−1 
Gdybyś chciał ją policzyć bez hiperbolicznych to najlepiej sprawdzą się podstawienia Eulera (Jak widać po wyniku z podstawień Eulera lepiej sprawdzi się to pierwsze czyli z współczynnikiem wiodącym) Wygląda ok Tam masz równania o rozdzielonych zmiennych bo chciałem po kolei wg spisu z wpisu 26 maj 2021 22:03 bez względu na ten pdf co znalazłeś
30 maj 20:52
wakacje: Zabrałem się za Twój pdf Mariusz i mam takie pytanie Jeśli mamy takie równanie różniczkowe: 2x2y*y'+y2=2, to doprowadzam je do postaci
 dy 

=f(x)*g(y) i potem standardowy 'schemat'
 dx 
Żeby doprowadzić do takiej postaci, to muszę podzielić całe równanie przez '2x2y', czyli tym samym robię założenie, że x≠0 i y≠0 Załóżmy że rozwiązanie przedstawiam w postaci jawnej y(x)=f(x) Czy dobrze rozumiem, że w momencie w którym mam rozwiązanie, sprawdzam czy y=0 zawiera się w tej odpowiedzi? Mam na myśli, że sprawdzam czy na przykład mogę dobrać takie C, które spowoduje że moja funkcja przybierze postać y=0? Zastanawia mnie co z x=0, z postaci jawnej y(x)=f(x) chyba nie jestem w stanie tego uzyskać (sprawdzić)
31 maj 14:03
HGH: Co do równań różniczkowch mogę polecić tego PDFA: http://home.agh.edu.pl/~gora/rownania/RRZ.pdf z tego co widze to większość tego co rozpisał Mariusz tam znajdziecie. Nie jest to materiał ze studiów matematycznych, ale myślę, że na start są spokojnie wystarczające.
31 maj 14:08
wakacje: Mi się udało znaleźć pdf z całej książki na temat równań różniczkowych, autorzy to Łanowy, Przybylak i Szlęk Dzięki wielkie za podesłanie pdfa HGH, w wolnej chwili przysiądę i postudiuje
31 maj 14:40
HGH: jeśli ksiązki to od siebie mogę polecić również Równania różczniczkowe zwyczajne autorstwa M. Gewert i Z. Skoczylas Jeśli bedzięsz mieć sporo czasu na przestudiowanie to tutaj sa fajne 'realne' zastosowania równań różniczkowych. Niektóre metody fajnie zobrazowane, i kilka wzorów.
31 maj 15:08
Mariusz: Tak jak dzielisz to musisz założyć że to przez co dzielisz jest różne od zera a na końcu sprawdzić czy przez to założenie nie straciłeś rozwiązań Tutaj po wstawieniu x=0 otrzymasz y(0)2=2 zatem prosta x = 0 (oś Y) przetnie się z krzywymi całkowymi w dwóch punktach y=−2 oraz y=2 więc czy można x = 0 nazwać rozwiązaniem ? Tak możesz sprawdzić czy uda ci się dobrać takie C aby y=0 wtedy nie musisz rozwiązania y=0 zapisywać oddzielnie
31 maj 15:57
Mariusz: HGH Gewerta czytałem ale trzeba go uzupełniać U siebie mam też inne skrypty jak ten o którym wspomniał wakacje , a także Nikliborca i Niedobę, przeglądałem też książki i zbiór zadań po rosyjsku HGH może i realne są ale nie mka zadań do samodzielnego rozwiązania więc jak sobie utrwalą wiedzę i nauczą się rozwiązywać te równania ?
31 maj 16:06
Mariusz: Tutaj też masz trochę książek http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/ode.htm
31 maj 16:28
HGH: Mariusz, mam ksiazke w której są zadania do rozwiązania. Ale mam kilka od nich książek i niektóre są podzielone na 2. Jedna zawiera teorie a druga tylko zadania (rozwiazane i do rozwiązania) Pewnie masz wersje gdzie zadań do rozwiązania samodzielnego nie ma, ale taka wersja jest i tą właśnie miałem na myśli. Co do zbioru zadań to nasz wykładowca, uznał że najlepszy jaki jest to właśnie ten po rosyjsku, niestety imienia i nazwiska nie potrafie przeczytać
31 maj 17:35
Mariusz: Ja przeglądałem ten pdf który podesłałeś i w nim nie widziałem zadań do samodzielnego rozwiązania Z rosyjskich zbiorów przeglądałem Filippowa A.F. Filippow Zbiór zadań z równań różniczkowych Ja tutaj chciałem aby ćwiczyli równania różniczkowe wg spisu którego napisałem we wpisie z 26 maj 2021 22:03 I w sumie chciałbym się ograniczyć do przygotowywania zestawów zadań z wcześniejszym przedstawieniem sposobu rozwiązania zilustrowanym na wybranych przykładach , sprawdzania rozwiązania zadań i odpowiadania na ewentualne pytania Taki miałem pomysł na odpowiadanie w tym wątku
31 maj 18:01
wakacje: Dla mnie to też jest o wiele lepsze niż studiowanie książek, mam przynajmniej stały kontakt i mogę się w każdej chwili o coś spytać jeśli mam problem ze zrozumieniem czegoś bądź jakieś wątpliwości Mariusz już zrobiłem kilka przykładów z tego pdf który przygotowałeś i na razie nie mam żadnych problemów, dosyć schematycznie to idzie i całki też są do opanowania W razie czego będę zamieszczał tutaj pytania W ogóle są tam przykłady gdzie są np. x2y, to tak powinno być? Wtedy chyba nie ma szans na to aby sprowadzić to do równania o rozdzielonych zmiennych, także obstawiam że jakieś błędy się wkradły
31 maj 23:09
wakacje: Co do pytania czy x=0 można w takim przypadku nazwać rozwiązaniem to nie, moim zdaniem jeśli sprawdzamy warunek z początku to powinna wychodzić tożsamość, że L=P, lewa strona jest równa prawej Chociaż z drugiej strony wyszły nam konkretne punkty przecięcia z krzywymi całkowymi, więc to też można potraktować jako pewne rozwiązanie, bo równie dobrze może nam wyjść zdanie fałszywe, czyli że na przykład 3=1 Jak to z tym jest?
31 maj 23:17
Mariusz: A czy to nie jest tak że x = 0 wyrzucasz z dziedziny tej funkcji y(x) ? Tam w postaci jawnej masz dzielenie przez x
1 cze 02:04
HGH: Tak w pdfie nie ma zadan do rozwiazania, bo roziwazywaliśmy zadania z Filippowa własnie, jak napisałeś to sobie przypomnialem jego nazwisko.
1 cze 13:02
Mariusz: Jeśli chodzi o mnie to rosyjskiego nie znam bo zanim zdałem do piątej klasy to wywalili tej język z programu nauczania a mamuśka nie chciała mnie uczyć chociaż była nauczycielką tego języka Cyrylicę jako tako znam (Wprawdzie są translatory takie jak Google translate ale wiadomo jaka jest ich jakość Zbiór Filippowa widziałem jedynie w oryginalnej wersji językowej)
1 cze 13:46
wakacje: To prawda, x=0 jest wyrzucone z dziedziny akurat w tym przykładzie, ale zastanawiałem się po prostu co by było gdybyśmy tego z dziedziny nie wyrzucali
1 cze 21:51
Mariusz: To mógłbyś dla ciekawości obliczyć stałą aby sprawdzić czy twoje rozwiązanie uwzględnia te punkty
1 cze 22:14
wakacje: A jeśli mamy taki przykład: xy(xy2+x)dy−dx=0 Doprowadzamy równanie do postaci: y(y2+1)dy=x−2dx, przy założeniu, że x≠0 Sprawdzamy co się dzieje gdy x=0, wtedy równanie przyjmuje postać 0=dx Co w takiej sytuacji?
1 cze 22:31
Mariusz:
 dx 
Jeżeli zapiszesz to równanie w postaci xy(xy2+x)−

=0 to otrzymasz 0=0
 dy 
1 cze 23:16
wakacje:
 dx 
Może głupie pytanie, ale czy w równaniu musi się pojawić

, aby sprawdzić x=0, i
 dy 
 dy 
analogicznie czy musiałoby się pojawić

gdybyśmy chcieli sprawdzić y=0?
 dx 
Szczerze to na ten moment niektóre oznaczenia sprawiają mi jeszcze problem i nie do końca wiem co oznaczają, stąd moje pytanie
2 cze 01:29
wakacje: Teraz próbuję się z takim równaniem: sin(t)*y'=y*ln(y)
 dt dy 
Dochodzę do takiego momentu:

=

 sin(t) y*ln(y) 
Liczę całkę po lewej (ta po prawej nie sprawiła mi problemu)
 dt sin(t)dt sin(t)dt 

=∫

=∫

=
 sin(t) sin2(t) 1−cos2(t) 
x=cos(t) dx=−sin(t)dt
 −sin(t)dt 
=−∫

=
 1−cos2(t) 
 dx 
=−∫

=
 1−x2 
 dx 
=∫

=
 x2−1 
 dx 
=∫

=
 (x+1)(x−1) 
1 A B 

=

+

x2−1 x+1 x−1 
1=A(x−1)+B(x+1) 1=Ax−A+Bx+B 0=(A+B)x+B−A−1 A=−B i 2B=1
 1 1 
A=−

oraz B=

 2 2 
 
1 

2 
 
1 

2 
 
=∫(−

+

)dx=
 x+1 x−1 
 1 1 1 
=

∫(


)dx=
 2 x−1 x+1 
 1 1 x−1 
=

(ln|x−1|−ln|x+1|)=

*ln|

|
 2 2 x+1 
Wracamy do równania:
 x−1 
ln|

|+C=ln|ln(y)|
 x+1 
 x−1 
C*|

|=ln(y)
 x+1 
 cos(t)−1 
C*|

|=ln(y)
 cos(t)+1 
 cos(t)−1 
y=eA, gdzie A=C*|

|
 cos(t)+1 
Po skonfrontowaniu mojego wyniku z tym z Wolframa wychodzi że mam źle, w takim razie czy ta całka jest nieprawidłowo policzona?
2 cze 02:16
2 cze 08:19
Mariusz: Co do pytania z wpisu z 2 cze 2021 01:29 Tak możesz tak to sprawdzać choć możesz też rozważyć uzależnienie x oraz y od jakiegoś parametru np t Miałbyś wtedy
 dy dx 
x(t)y(t)(x(t)y2(t)+x(t))

dt−

dt=0
 dt dt 
przyjmując że parametr t nie jest stały daje to nam
 dy dx 
x(t)y(t)(x(t)y2(t)+x(t))


=0
 dt dt 
Jeśli chodzi o całkę to wygląda na dobrze policzoną
2 cze 17:19
wakacje: Dziękuję za sprawdzenie piotr Same równania może nie sprawiają mi problemu, ale większe problemy sprawia mi już te sprawdzanie założeń z początku Jeżeli mamy takie równanie (x2−1)y'+2xy2=0, to podstawiając x=1 do równania otrzymujemy, że y=0, więc czy w takim razie x=1 jest rozwiązaniem tego równania? Tak samo zastanawia mnie w ogóle dziedzina tych równań, powinniśmy ja określać czy to się kompletnie pomija? Niby się rozwiązuje te równania ale jakoś mam wrażenie że tak krążę po omacku wokół tego tematu, za dużo pytań mam
2 cze 19:11
Mariusz: Otrzymujesz 2y(1)=0 czyli nie jest rozwiązaniem Dobrze by było określić dziedzinę ale jeśli dobrze pamiętam to w przykładach u Gewerta jest to pomijane
2 cze 19:34
Mariusz: Po wstawieniu otrzymujesz że (x2−1)y'+2xy2=0 otrzymujesz że y(1)=0 I teraz dla równania różniczkowego z warunkiem początkowym y(1)=0 x=1 spełniałoby to równanie w przeciwnym razie nie
2 cze 20:10
wakacje: Dokładnie o to mi chodziło, dzięki wielkie − kojarzę właśnie że czasami pojawiają się takie równania różniczkowe z warunkiem początkowym i poprzez ten warunek wyznaczamy na końcu stałą C W ogóle czy masz odpowiedzi do tego zestawu, który podesłałeś?
 dy dy 
Robię teraz ten przykład: (1+y2)(e2x−ey*

)−(1+y)

=0
 dx dx 
I wychodzi mi coś takiego:
 e2x 1 

+C=

ln|y2+1|+arctan(y)+ey
 2 2 
I chyba dosyć ciężko byłoby to doprowadzić do postaci jawnej, także zostawiłbym to w postaci uwikłanej
2 cze 23:57
wakacje: Dobra, teraz widzę że można to doprowadzić do postaci x(y) e2x+2C=ln(y2+1)+arctan(y)+ey e2x=ln(y2+1)+arctan(y)+ey−2C 2x=ln[ln(y2+1)+arctan(y)+ey−2C]
 ln[ln(y2+1)+arctan(y)+ey−2C] 
x=

 2 
3 cze 00:00
Mariusz: Te równania wybierałem ze zbiorów zadań , więc pewnie by się znalazło To równanie chyba pochodziło ze zbioru Krysickiego i Włodarskiego i tak rozwiązanie pozostawione zostało w postaci uwikłanej Masz tutaj jeszcze takie równanie do rozwiązania
 dy 
(x2+1)

+xy−x=0
 dx 
Ponieważ już rozwiązywałeś jednorodne to możesz spróbować rozwiązać takie równanie
 2x3 
(4x2+10y)dx+(

−15x)dy=0
 y 
Powyższe równanie dość łatwo sprowadzić do jednorodnego i to jest moja podpowiedź co do sposobu rozwiązania tego równania
3 cze 00:15
wakacje: Od razu rozwiążę ten pierwszy przykład tutaj (wynik z Wolframem się zgadza, także nie sprawdzaj)
 dy 
(x2+1)

+xy−x=0
 dx 
 dy 
(x2+1)

=x−xy
 dx 
 dy 
(x2+1)

=x(1−y)
 dx 
dy x 

=

*(1−y)
dx x2+1 
(x2+1)dy=(1−y)*xdx
 dy x 

=∫

dx, y≠1
 1−y x2+1 
 dy 1 2x 

=−


dx
 y−1 2 x2+1 
 1 
ln|y−1|=−

ln|x2+1|+C
 2 
 1 1 
ln|y−1|=

ln(

)+C
 2 x2+1 
 1 
ln|y−1|=ln(

)+C
 x2+1 
 C 
|y−1|=

 x2+1 
 C 
y−1=

 x2+1 
 C 
y=

+1
 x2+1 
+ sprawdzamy co się dzieje dla y=1, ale gdy C=0, to funkcja przyjmuje postać y=1, także zawiera się to w naszym rozwiązaniu
3 cze 00:30
Mariusz: Wakacje , rozwiązanie w postaci uwikłanej poprawne , choć lepiej byłoby je zapisać jako F(x,y)=C, np gdybyś chciał samodzielnie je sprawdzić natomiast źle przekształciłeś równanie aby zapisać je w postaci jawnej Sprawdź czy nie pomyliłeś się przy mnożeniu równania przez 2
3 cze 00:48
wakacje: W którym miejscu widzisz błąd? Bo tak patrzę i nie widzę
 1 1 
Mówisz o momencie ln|y−1|=

ln(

)+C?
 2 x2+1 
Tutaj jedną drugą wrzuciłem do logarytmu
3 cze 00:54
Mariusz: Pisałem o poprzednim równaniu bo tego ostatniego jeszcze nie widziałem To ostatnie równanie jest rozwiązane poprawnie
3 cze 00:56
Mariusz: a co do równania
 2x3 
(4x2+10y)dx+(

−15x)dy=0
 y 
to sprawdź czy podstawienie y = ur , gdzie r = const sprowadzi powyższe równanie do jednorodnego ale możesz też zostawić je na później gdy będziemy sprowadzali równania do równania jednorodnego
3 cze 01:05
wakacje:
 y 4x2+10y dy 
Właśnie się na nim zawiesiłem i doszedłem do postaci

*

+

=0,
 x 2x2−15y dx 
ale chyba nic dalej nie da się wykombinować
 dy 
Próbowałem skorzystać z Twojej podpowiedzi ale nie wiem co zrobić w równaniu z

, także
 dx 
chyba na razie to sobie odpuszczę
3 cze 01:28
Mariusz: y=ur
dy du 

=rur−1

dx dx 
a co do postaci którą uzyskałeś to po podzieleniu licznika i mianownika przez x2 łatwo zauważyć podstawienie które sprowadzi to równanie od razu do równania o rozdzielonych zmiennych
3 cze 01:41
wakacje:
 dy 
No to widzisz, mi nie pasowało to podstawienie, bo myślałem że będzie

=rur−1, więc
 du 
jeszcze tak nie do końca rozumiem tę zasadę zapisu
3 cze 13:33
Mariusz: No nie po tym podstawieniu y nadal by zależało od x tylko stałą r byś musiał tak dobrać aby równanie było jednorodne
3 cze 13:43
wakacje: W takim razie na razie zostawmy takie podstawienie, lećmy po kolei to może będzie lepiej Co do tego pdfa z równaniami o rozdzielonych zmiennych to właśnie skończyłem, w 4 przykładach obstawiam że wkradły się błędy przy przepisywaniu, ale myślę że i tak starczy tego typu równań Czyli teraz ćwiczyć jednorodne?
 y 
Dodam że kilka jednorodnych już liczyłem, ale jedynie z podstawieniem u=

 x 
3 cze 14:26
Mariusz: Jeżeli chcesz trzymać się kolejności zgodnie z wpisem z 26 maj 2021 22:03 to tak ale można też przejść do równań liniowych a następnie zupełnych a samo sprowadzanie równań pierwszego rzędu do tych trzech typów zostawić na później jak wolisz
3 cze 14:39
Mariusz: Jeśli chodzi o równania jednorodne to tutaj chciałbym się zatrzymać także przy równaniach takiej postaci
dy y y 

=

+g(x)f(

)
dx x x 
dy y y 

=

f(

)
dx x xr 
dy a1x+b1y+c1 

=f(

)
dx a2x+b2y+c2 
3 cze 14:46
Mariusz: Masz tutaj kilka równań do rozwiązania https://pdfhost.io/v/pP8rwvXP~_rr1_jednorodnepdf.pdf
3 cze 18:12
wakacje: Dzięki wielkie, zobaczymy w jakim tempie je zrobię i w razie jakichkolwiek wątpliwości to będę pisał
3 cze 19:20
Damian#UDM: Nie wiem jak rozwiązać to równanie liniowe jednorodne I−go rzędu: (x+y)*y'=y*tg(x) Próbowałem podstawienia u=yx : u'*x+u+u*u'*x+u2=u*tg(x) Lecz niestety nic mi nie wychodzi. Proszę o pomoc emotka
4 cze 22:16
Mariusz: Możliwe że wystąpił błąd np podczas edytowania pliku pdf bo wg mnie nie przedstawisz tego równania w postaci
dy 

+p(x)y=q(x)
dx 
bądź
dx 

+p(y)x=q(y)
dy 
a podstawienie sprowadzające równanie (x+y)y' = ytg(x) , do jednego z powyższych równań trudno wymyślić Równanie jednorodne miałbyś gdyby równanie wyglądało następująco
 y 
(x+y)y' = ytg(

) ,
 x 
bądź
 x 
(x+y)y' = ytg(

) ,
 y 
no ale z treści wynikało że to miało być liniowe niejednorodne (x+y)y' = ytg(x) (x+y)y'=ytg(x) x+y=xv y=xv−x y'=v+xv'−1 xv(v+xv'−1)=(xv−x)tg(x) v(v+xv'−1)=(v−1)tg(x) v2+xvv'−v=(v−1)tg(x) xvv'=−v2+(tg(x)+1)v−tg(x)
 1 
v=

 u 
 u' 
v'=−

 u2 
 u' 1 1 
x(−

)=−

+(tg(x)+1)

−tg(x)
 u3 u2 v 
xu'=u−(tg(x)+1)u2+tg(x)u3
 tg(x) tg(x)+1 u 
u'=

u3

u2+

 x x x 
a to nie jest równanie liniowe i równania tego typu który otrzymaliśmy dość trudno rozwiązać
5 cze 02:28
Damian#UDM: No to pewnie jest tam błąd emotka A jak przekształcić
 cos(y)−1 y 
ln|

|=ln(tg(

))
 cos(y)+1 2 
?
5 cze 10:18
ICSP: Z lewej strony masz funkcję zależną od kąta γ
 γ 
Z prawej strony masz funkcję zależną od kąt

 2 
Próbowałeś przejść na kąty połówkowe z lewej strony?
 γ γ 
cosγ = cos2(

) − sin2(

)
 2 2 
 γ γ 
1 = cos2(

) + sin2(

)
 2 2 
5 cze 11:26
Damian#UDM: Z lewej strony chyba zabrakło mi 12
5 cze 12:21
Damian#UDM: Chyba po prostu zapamiętam wzór
1 cos(x)−1 

ln|

|=ln(tg(x2))
2 cos(x)+1 
I będzie mi po prostu łatwiej emotka
5 cze 12:25
wakacje: Mam wątpliwości co do pewnego przykładu z tego pdf, dokładnie z przykładem:
 dy 2y2−xy 

=

 dx x2−xy+y2 
 u2−u+1 
Dochodzę do całki ∫

du
 u(u−1)(u−2) 
Stosuję tutaj rozkład na sumę ułamków prostych i otrzymuję taką całkę:
 u2−u+1 1 1 1 3 1 

du=


du−∫

du+


du
 u(u−1)(u−2) 2 u u−1 2 u−2 
 1 u(u−2)3 
Ta całka równa jest

*ln|

|
 2 (u−1)2 
Wracam do równania
 1 u(u−2)3 

*ln|

|=−ln|x|+C
 2 (u−1)2 
 u(u−2)3 
ln|

|=−2ln|x|+2C
 (u−1)2 
 u(u−2)3 1 
ln|

|=ln|

|+2C
 (u−1)2 x2 
 u(u−2)3 2C 
|

|=

 (u−1)2 x2 
 u(u−2)3 2C 

=

 (u−1)2 x2 
I co teraz? Bo raczej nie zdołam wyznaczyć z tego 'u'.. Zostawić to w takiej postaci uwikłanej:
 
y y 

(

−2)3
x x 
 2C 

=

?
 
 y 
(

−1)2
 x 
 x2 
7 cze 01:51
Mariusz: Tak , zostaw to w postaci uwikłanej F(x,y)=C
7 cze 04:36
wakacje: Dzięki wielkie za odpowiedź, zrobione Mam jeszcze wątpliwości co do jednego przykładu, za dużo tego wyszło więc nie ma co sprawdzać linijka po linijce, ale czy miałbyś może odpowiedź do tego przykładu? Rozwiązanie zostawię dla potomnych, może ktoś skorzysta (3x2+2xy−y2)dx+(x2−2xy−3y2)dy=0 (3x2+2xy−y2)dx=−(x2−2xy−3y2)dy
 dy 
(3x2+2xy−y2)=−(x2−2xy−3y2)

 dx 
dy 3x2+2xy−y2 

=

dx −(x2−2xy−3y2) 
dy 3x2+2xy−y2 

=

dx −x2+2xy+3y2 
dy 3x2+2xy−y2 

=

dx 3y2+2xy−x2 
 3+2u−u2 
u'x+u=

 3u2+2u−1 
 3+2u−u2 
u'x=

−u
 3u2+2u−1 
 3+2u−u2−u(3u2+2u−1) 
u'x=

 3u2+2u−1 
 3+2u−u2−3u3−2u2+u 
u'x=

 3u2+2u−1 
 3+3u−3u2−3u3 
u'x=

 3u2+2u−1 
du 3+3u−3u2−3u3 

*x=

dx 3u2+2u−1 
 3+3u−3u2−3u3 
xdu=

dx
 3u2+2u−1 
3u2+2u−1 dx 

du=

3+3u−3u2−3u3 x 
3u2+2u−1 dx 

du=

3(1+u)−3u2(1+u) x 
3u2+2u−1 dx 

du=

(1+u)(3−3u2) x 
3u2+2u−1 

du=ln|x|+C
3(1+u)(1+u)(1−u) 
13u2+2u−1 


du=ln|x|+C
3(1+u)2(1−u) 
3u2+2u−1 

du=3ln|x|+C
(1+u)2(1−u) 
3u2+2u−1 

du=ln|x3|+C
(1+u)2(1−u) 
(u+1)(3u−1) 

du=ln|x3|+C
(u+1)2(1−u) 
3u−1 

du=ln|x3|+C
(u+1)(1−u) 
 3u−1 

du=ln|x3|+C
 (u+1)(1−u) 
−ln|u−1|−2ln|u+1|=ln|x3|+C
 1 
ln|u−1|+2ln|u+1|=ln|

|+C
 x3 
 1 
ln|u−1|+ln|(u+1)2|=ln|

|+C
 x3 
 1 
ln|(u−1)(u+1)2|=ln|

|+C
 x3 
 C 
(u−1)(u+1)2=

 x3 
x3(u−1)(u+1)2=C
 y y 
x3(

−1)(

+1)2=C
 x x 
I to również zostawiam w postaci uwikłanej F(x,y)=C
7 cze 16:58
Mariusz: Wynik masz dobry choć można go jeszcze odrobinę uprościć (y−x)(y+x)2=C
 dy 
Jeśli chciałbyś samemu sprawdzić wynik to w miejsce

 dx 
 
δF 

δx 
 
wstawiasz −

 
δF 

δy 
 
 −(y+x)2+2(y−x)(y+x) 
(3x2+2xy−y2)+(x2−2xy−3y2)(−

)=0
 (y+x)2+2(y−x)(y+x) 
7 cze 19:26
wakacje: Pochodne cząstkowe obliczyłem, ale pytanie dlaczego pojawia się w tamtym miejscu minus?
8 cze 20:22
Mariusz: Jeżeli masz rozwiązanie równania w postaci F(x,y)=C to różniczka zupełna funkcji F(x,y) będzie wyglądać następująco
 δF δF 
dF=

dx+

dy=0
 δx δy 
δF δF 

dx+

dy=0
δx δy 
skąd
δF δF 

dy=−

dx
δy δx 
dy 
δF 

δx 
 

=−

dx 
δF 

δy 
 
8 cze 22:34
wakacje: Ok już rozjaśnione, rozumiem Mam jeszcze pytanie odnośnie takiego przykładu
 dy 
xy

=y2+(x+y)2*e−y/x
 dx 
Dochodzę do takiej postaci
 eu 

=ln|x|+C
 u+1 
I pytanie czy to jest w ogóle dobrze? Bo ciężko mi sprawdzić to na Wolframie, tam chyba wyskakuje rozwiązanie z użyciem funkcji W Lamberta, ale nie umiem jej używać
9 cze 16:23
Mariusz: Wygląda na to że wynik wyszedł ci dobry Zostaw rozwiązanie w postaci uwikłanej a do sprawdzenia
 dy 
δF 

δx 
 
użyj tego że

=−

 dx 
δF 

δy 
 
9 cze 18:27
wakacje: Sprawdziłem rozwiązanie i wychodzi że 0=0, także jest okej Co do tego pdf z zadaniami to został mi ostatni przykład, ale mam tam problem z całką, bo nie wiem jak ją policzyć
 du 

miałbyś jakąś wskazówkę?
 cos(ln(u)) 
9 cze 23:52
Mariusz : A jakie równanie rozwiązujesz jako ostatnie ? Na razie jeszcze zostaniemy przy jednorodnych ale tym razem zajmiemy się równaniami postaci
dy y y 

=

+g(x)f(

)
dx x x 
dy y y 

=

f(

) , gdzie r=const
dx x xr 
dy a1x+b1y+c1 

=f(

)
dx a2x+b2y+c2 
Na to pierwsze równanie działa to samo podstawienie co dla równania jednorodnego, tego którego już rozwiązywałeś To drugie równanie można sprowadzić do równania jednorodnego którego już rozwiązywałeś a można sprowadzić je bezpośrednio do równania o rozdzielonych zmiennych , wtedy narzucającym się podstawieniem jest podstawienie za argument funkcji f Jeżeli chciałbyś to równanie sprowadzić najpierw do jednorodnego to podstawiasz y(x) = u(x)r To trzecie równanie rozbijasz na przypadki Jeżeli det(A)=0, gdzie A= a1 b1 a2 b2 to możesz od razu sprowadzić to równanie do równania o rozdzielonych zmiennych podstawieniem u = a1x+b1y Jeżeli natomiast det(A)≠0 to stosujesz podstawienie x=u+α y=v+β przy czym stałe α oraz β dobierasz tak abyś dostał równanie jednorodne (aby wyrazy wolne ci się wyzerowały) Stałe α oraz β dostaniesz z rozwiązania układu równań liniowych
10 cze 00:47
wakacje:
 dy y 
To ostatnie równanie to z tego pdf, który podesłałeś: x

=y*cos(ln(

))
 dx x 
No i właśnie mam problem z obliczeniem tej całki z cosinusem, ale patrząc na wynik w Wolframie to zaczynam wątpić w ten przykład Podeślę wynik: https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+of+1%2Fcos%28ln%28x%29%29 Miałbyś jakiś pdf z zadaniami aby sobie poćwiczyć każdy typ równań? Swoją drogą mam też te 2 części Krysickiego i Włodarskiego, także na spokojnie mogę też stamtąd brać zadania, o ile są Daj tylko znać jak wolisz
10 cze 15:37
Mariusz: Z Krysickiego możesz brać zadania ale chyba tych jednorodnych którymi chciałbym się teraz zająć tam nie ma więc musiałbym sam przygotować równania do rozwiązania a to może zająć trochę dłużej czasu niż samo wybieranie ich ze zbiorów
 dy y 
Co do równania x

=ycos(ln(

))
 dx x 
to inną całkę powinieneś dostać
 1 

du
 u(cos(ln(u))−1) 
a tę całkę łatwo policzyć podstawieniem
10 cze 17:04
Mariusz: Przykład do równania w pierwszej wymienionej postaci
dy y x y 

=

+

cos2(

)
dx x 1+x2 x 
y=ux y'=u'x+u
 x 
u'x+u=u+

cos2(u)
 1+x2 
 x 
u'x=

cos2(u)
 1+x2 
u' 1 

=

cos2(u) 1+x2 
1 1 

du=

dx
cos2(u) 1+x2 
tg(u)=arctg(x)+C u=arctg(arctg(x)+C)+kπ , k ∊ ℤ
y 

=arctg(arctg(x)+C)+kπ , k ∊ ℤ
x 
y = xarctg(arctg(x)+C)+kπx , k ∊ ℤ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Przykład do równania w drugiej wymienionej przeze mnie postaci
 2x3 
(4x2−10y)dx+(

−15x)dy=0
 y 
Sposób 1. (za pośrednictwem równania różniczkowego jednorodnego)
 2x3 dy 
(4x2−10y)+(

−15x)

=0
 y dx 
y(x)=z(x)r , r = const (r jest stałą którą starasz się wyznaczyć) y'=r z(x)r−1z'(x)
 2x3 
(4x2−10zr)+(

−15x)r zr−1z'=0
 zr 
 2x3 
(4x2−10zr)+r(

−15xzr−1)z'=0
 z 
r=2
 2x3 
(4x2−10z2)+2(

−15xz})z'=0
 z 
(4x2z−10z3)+(4x3−30xz2)z'=0 z=ux z'=u'x+u (4x3u−10u3x3)+(4x3−30x3u2)(u'x+u)=0 (4u−10u3)+(4−30u2)u'x+u(4−30u2)=0 (4−30u2)u'x=30u3−4u+10u3−10u3 (4−30u2)u'x=(40u3−8u)
2−15u2 dx 

du =

20u3−4u x 
15u2−2 4 

du=−

dx
5u3−u x 
A Bu+C 4 

+

=−

dx
u 5u2−1 x 
A(5u2−1)+(Bu+C)u=15u2−2 5Au2−A+Bu2+Cu=15u2−2 A=2 C=0 10+B=15 B=5
2 5u 4 

+

=−

dx
u 5u2−1 x 
4 10u 8 

+

=−

dx
u 5u2−1 x 
4ln|u|+ln|5u2−1|=−8ln|x|+C ln|u4|+ln|5u2−1|+8ln|x|=C ln|u4x8(5u2−1)|=C ln|(u4x4)x2(5u2u2−x2)|=C ln|z4x2(5z2−x2)|=C y=z2 ln|y2x2(5y−x2)|=C |y2x2(5y−x2)|=eC y2x2(5y−x2)=±eC y2x2(5y−x2)=C1 Sposób 2. (bezpośrednio do równania o rozdzielonych zmiennych)
 2x3 
(4x2−10y)dx+(

−15x)dy=0
 y 
 2x3 dy 
(4x2−10y)+(

−15x)

=0
 y dx 
 2x3 dy 
(

−15x)

=(10y−4x2)
 y dx 
dy 10y−4x2 

=

dx 
2x3 

−15x
y 
 
dy y
 x2 
10−4

 y 
 

=


dx x
2x2 

−15
y 
 
y=ux2 y'=u'x2+2xu
 
 4 
10−

 u 
 
u'x2+2xu=ux

 
2 

−15
u 
 
 5u−2 
u'x2+2xu=2ux

 2−15u 
 5u−2 
u'x+2u=2u

 2−15u 
 5u−2 
u'x=2u(

−1)
 2−15u 
 5u−2−2+15u 
u'x=2u

 2−15u 
 20u−4 
u'x=2u

 2−15u 
2−15u 1 

du=

dx
2u(20u−4) x 
15u−2 8 

du=−

dx
u(5u−1) x 
5u+(10u−2) 8 

du=−

dx
u(5u−1) x 
 5 2 8 
(

+

)du = −

dx
 5u−1 u x 
ln|5u−1|+2ln|u|=−8ln|x|+C1 ln|5u−1|+ln|u2|+8ln|x|=C1 ln|x8u2(5u−1)|=C1 ln|x2u2x4(5ux2−x2)|=C1 ln|x2y2(5y−x2)|=C1 |x2y2(5y−x2)|=eC1 x2y2(5y−x2)=±eC1 x2y2(5y−x2)=C −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Przykłady do równania w trzeciej postaci (2x+y+1)dx−(4x+2y−3)dy=0
 dy 
(2x+y+1)−(4x+2y−3)

=0
 dx 
u=2x+y u'=2+y' (u+1)−(2u−3)(u'−2)=0 (u+1)+2(2u−3)=(2u−3)u' 5u−5=(2u−3)u'
2u−3 

u'=1
5u−5 
2u−3 

u'=5
u−1 
2u−2−1 

u'=5
u−1 
 1 
(2−

)du=5dx
 u−1 
2u−ln|u−1|=5x+C1 2u−ln|u−1|−5x=C1 2y−x−ln|2x+y−1|=C1
1 

e2y−x=eC1
|2x+y−1| 
1 

e2y−x=±eC1
2x+y−1 
1 

e2y−x=C2
2x+y−1 
1 

e2y−x=C2
2x+y−1 
1 

=C2
(2x+y−1)ex−2y 
(2x+y−1)ex−2y=C Przykład nr 2 (2x−4y+6)dx+(x+y−3)dy=0 x=u+α y=v+β
dy dy du 

=

(

)
dx du dx 
dy dv 

=

(x−α)'
dx du 
dy dv 

=

dx du 
 dv 
(2(u+α)−4(v+β)+6)+((u+α)+(v+β)−3)

=0
 du 
 dv 
(2u−4v+2α−4β+6)+(u+v+α+β−3)

=0
 du 
2α−4β+6=0 α+β−3=0 2α−4β=−6 α+β=3 α−2β=−3 α+β=3 −α+2β=3 α+β=3 3β=6 β=2 α=1 x=u+1 y=v+2
 dv 
(2u−4v)+(u+v)

=0
 du 
v=uz v'=z'u+z (2u−4uz)+(u+uz)(z'u+z)=0 u(2−4z)+u(1+z)(z'u+z)=0 2−4z+(1+z)(z'u+z)=0 (1+z)z'u=4z−2−z2−z (1+z)z'u=−z2+3z−2 (1+z)z'u=−(z2−3z+2)
1+z 1 

dz=−

du
z2−3z+2 u 
z+1 1 

dz=−

du
(z−1)(z−2) u 
A B z+1 

+

=

z−1 z−2 (z−1)(z−2) 
A(z−2)+B(z−1)=z+1 A+B=1 −2A−B=1 −A=2 A=−2 B=3
 −2 3 1 
(

+

)dz=−

du
 z−1 z−2 u 
−2ln|z−1|+3ln|z−2|+ln|u|=C1
 (z−2)3u 
ln|

|=C1
 (z−1)2 
 (zu−2u)3 
ln|

|=C1
 (zu−u)2 
 (v−2u)3 
ln|

|=C1
 (v−u)2 
 (v−2u)3 
|

|=eC1
 (v−u)2 
(v−2u)3 

=±eC1
(v−u)2 
(v−2u)3 

=C
(v−u)2 
(y−2x)3 

=C
(y−x−1)2 
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Za jakiś czas spróbuję wymyślić kilka równań tej postaci do rozwiązania
11 cze 01:08
Mariusz: Na razie wybierz sobie ze zbioru Krysickiego i Włodarskiego kilka równań z § 8.3 na str 223
 dy a1x+b1y+c1 
Równania typu

=f(

)
 dx a2x+b2y+c2 
Ja spróbuje przygotować kilka równań postaci
dy y y 

=

+g(x)f(

)
dx x x 
(Tutaj aby wymyślić równanie wystarczy wystartować z równania o rozdzielonych zmiennych
 y 
i za y wstawić

)
 x 
oraz postaci
dy y y 

=

f(

) , gdzie r = const
dx x xr 
(Tutaj aby wymyślić równanie wystarczy wystartować z równania jednorodnego i podstawić y=ur
11 cze 13:50
Damian#UDM: Rozwiązuje równanie
dy 2y2−xy 

=

dx x2−xy+y2 
 y 
Po przekształceniach (użyłem podstawienia u=

, x≠0) otrzymałem równanie
 x 
1−u−u2 dx 

=

u*(u2+3u−2) x 
I nie wiem co z lewą stroną zrobić, bo jak rozbiję na ułamki proste to trzymam straszne pierwiastkiemotka Czy popełniłem gdzieś błąd?
14 cze 22:05
wakacje: Też miałem własnie wątpliwości w tym przykładzie Damian i możesz rzucić okiem na 7 czerwca 1:51, już wspominałem coś o tym przykładzie
 u2−u+1 
Ogólnie powinieneś z lewej dojść do całki ∫

du, potem rozkład na sumę
 u(u−1)(u−2) 
ułamków prostych i dalej łatwo Dosyć blisko jesteś tej postaci tylko tam znaki zamienione
15 cze 00:29
Damian#UDM: No znowu głupie moje błędy, masakra z tym emotka Dobra, kończę ten plik i chce nauczyć się tych niejednorodnych, uzmienniania tych stałych i wyliczania wyników Bo Bernoulliego, drugiego rzędu wszystko ogarniam tylko jak to niejednorodne zrobić to już jest problem emotka
15 cze 00:38
Damian#UDM: przykładu z eyx to nie mam pomysłu jak obliczyć całkę z du emotka Mam takie równanie po przekształceniach
u*eu dx 

du=

(u+1)2 x 
15 cze 00:58
wakacje: Ja staram się trzymać tego co napisał Mariusz, także na razie wolę nie wybiegać aż tak jak Ty emotka Co prawda kiedyś już robiłem jakieś przykłady z tym uzmiennianiem stałych ale nic nie pamiętam Nad nią też trochę posiedziałem, spróbuj przez części emotka
15 cze 01:05
Damian#UDM: No mnie terminy gonią, 2 dni i muszę to ogarniać emotka
15 cze 01:16
wakacje: W sumie zależy jak obszerny temat masz do ogarnięcia, ale jeśli tylko z tego co tutaj po trochu ruszamy, to myślę że nie jest to takie złe.. Ja na szczęście na razie żadnych terminów, na ten moment najdłuższe wakacje także trzeba wypocząć i zastanowić się czy pchać się na studia w tych czasach emotka
15 cze 01:22
Damian#UDM: Myślę, że dam radę, grunt to liczyć te zadanie i ogarniać schematy ogólnie panujące emotka
16 cze 00:33
Damian#UDM: Mam pytanie: Czy zawsze z równania różniczkowego Bernoulliego muszę otrzymać równanie liniowe niejednorodne? Zadanie 6. Rozwiąż równanie różniczkowe Bernoulliego x*y'=y+y2 Użyłem podstawienia a=y1−2=y−1=1y Otrzymałem równanie −a'*x−a−1=0 i rozwiązałem je jak równanie o zmiennych rozdzielonych i myślałem, że źle bo nie zrobiłem tego jak rozwiązywanie równania niejednorodnego. Poźniej w internecie znalazłem trochę inny prawie taki sam przykład i tam potem rozwiązali to zadanie za pomocą pochodnej iloczynu. Więc czy jest to pojedynczy przypadek, że mogę to zadanie rozwiązać za pomocą równania o zmiennych rozdzielonych nie korzystając wcześniej z równania liniowego niejednorodnego?
17 cze 00:44
wakacje: Nie chce się wypowiadać na ten temat jeśli nie jestem pewien że umiem, ale tak w ogóle to te
 dy 
równanie można doprowadzić też do takiej postaci

=g(x)f(y):
 dx 
x*y'=y+y2
dy 1 

=(y+y2)*

dx x 
A to już zwykłe równanie rożniczkowe o zmiennych rozdzielonych, może to ma związek z tym?
17 cze 14:37
Damian#UDM: Znaczy znalazłem w necie informacje, że jak użyjemy już tego podstawienia to wtedy rozwiązujemy równanie liniowe niejednorodne, a tutaj już od razu wychodzi o zmiennych rozdzielonych emotka
17 cze 21:48
Damian#UDM: Rozwiąż równanie różniczkowe
 y 5 
y'+

=

 x2 x3 
Jest to równanie liniowe niejednorodne. CORJ y=C*e1x Rozwiązałem to metodą uzmiennienia stałej C.
 5 
C(x)=e−1x*(

+5)+C1, C1 ∊R
 x 
CORNJ
 5 
y=

+5+C1*e1x , C1 ∊R
 x 
Czy otrzymałem poprawne rozwiązanie?
20 cze 17:26
wakacje: tak, wyszło mi tyle samo i na dodatek przeprowadziłem sprawdzenie także wszystko się zgadza
20 cze 19:31
Damian#UDM: Miałem wątpliwości, ponieważ z 5 punktów rozwiązanie tego zadania zostało ocenione na 1,5 pkt. I nie mam pojęcia czemuemotka https://drive.google.com/drive/folders/1sfXww50NOuCyIc9WARWl3jphJAjEng4T?usp=sharing
20 cze 20:33