Kombinatoryka dyskretna Meumann: Ile istnieje sposobów na rozłożenie 5 kulek w 3 pudełkach, wiedząc, że każde pudełko ma przynajmniej 1 kulkę i: a) zarówno kulki jak i pudełka są odróżnialne (oznakowane)? b) kulki są odróżnialne, a pudełka są nieodróżnialne? c) kulki są nieodróżnialne, a pudełka są odróżnialne? d) zarówno kulki jak i pudełka są nieodróżnialne? Odp a): Przypadek 1: Rozłożenie kulek w pudełkach 2−2−1 (2 pudełka mają 2 kulki, jedno ma 1 kulkę) Spośród 3 pudełek wybieramy jedno które będzie miało jedną kulkę (3 nad 1) * 5! = 360 Przypadek 2: Rozłożenie kulek w pudełkach 3−1−1, (1 pudełko ma 3 kulki, dwa mają 1 kulkę) Spośród 3 pudełek wybieramy jedno które będzie miało 3 kulki (3 nad 1)* 5! = 360 360 + 360 = 720 Odp b): Podobnie jak w przypadku 2, lecz nie mnożymy wyników razy 3, gdyż urny są nierozróżnialne. 5! + 5! = 240 Odp c): Podobnie mamy dwa przypadki: rozkład 2−2−1 oraz 3−1−1. Skoro piłki są nierozróżnialne, jedyne co odróżnia przypadki w rozkładach to to, która urna ma 1 (dla przypadku 2−2−1) lub 3 (3−1−1) piłki. Zatem (3 nad 1) + (3 nad 1) = 6 Odp d): Podobnie jak w przykładzie c), lecz teraz nie odróżniamy urn. Zatem jedynymi przypadkami są rozkłady 2−2−1 oraz 3−1−1. Zatem 1 + 1 = 2 Czy w którymś punkcie mój tok myślenia jest niepoprawny?

wredulus_pospolitus: (a) ... czemu uważasz kolejność włożenia kulek do tego samego pudełka jest dla Ciebie istotna? (np. 1,2 ; 3,4 ; 5 oraz 2,1 ; 3,4 ; 5 traktujesz jako dwa różne układy) (b) analogiczna uwaga (c) ok (d) ok

Meumann: Faktycznie, kolejność nie jest istotna. W takim razie w przykładzie a): Rozkład 2−2−1: (3 nad 1) * (5 nad 2) * (3 nad 2) * (1 nad 1) Rozkład 3−1−1 (3 nad 1) * (5 nad 3) * (2 nad 1) * (1 nad 1) I analogicznie w przykładzie b). Zgadza się?

wredulus_pospolitus: to czekam na tę analogię dla (b) pamiętaj że tam koszyki są identyczne

Meumann: Faktycznie, zapędziłem się z tą analogią dla b): Rozkład 2−2−1 Pudełka są nierozróżnialne. Różnych pudełek mających jedną kulkę jest 5. Teraz mamy 4 kulki które musimy po równo rozdać 2 pudełkom. Takich przypadków jest (4 nad 2) * (2 nad 2), lecz byłby to poprawny wynik, gdyby pudełka były rozróżnialne. Ponieważ nie są, wynik ten jest dwukrotnie większy od faktycznego. Wynikiem jest 5 * ((4 nad 2) * (2 nad 2) / 2). Rozkład 3−1−1 Różnych pudełek mających 3 kulki jest (5 nad 3) czyli 10. 2 Pozostałe kulki lądują do dwóch pozostałych pudełek, ale z racji, że pudełka są nierozróżnialne, nie wpływa to na ilość przypadków. Wynikiem jest (5 nad 3) czyli 10. Da się to jakoś zgrabniej zrobić? Jestem całkiem pewien wyniku ale mam wrażenie, że sposób jest mało "elegancki"

wredulus_pospolitus: Zgrabniejsze podejście do tematu? yyyyyy ... raczej trudno będzie to 'zgrabniej' zrobić

kerajs: a)

	3 2		3 1
35−		25+		15=150

b) liczba Stirlinga II rodzaju: S₂(5,3)=25

Mila: c) x₁+x₂+x₃=5

5−1 3−1		4 2
	=		=6

d) rozkład liczby 5 na 3 składniki. ( nieistotna kolejność)

	1
P(5,3)=[		*52]=2
	12