Oblicz całkę Adam: Oblicza całkę integral ln²(1+x²)dx

wredulus_pospolitus: Masz do policzenia całkę nieoznaczoną

Adam: Tak całkę nieoznaczoną

Mariusz: Całkując dwukrotnie przez części otrzymasz

	2x
∫ln2(1+x2)dx=xln2(1+x2)−∫x(2ln(1+x2)*		)dx
	1+x2

	x2
∫ln2(1+x2)dx=xln2(1+x2)−4∫		ln(1+x2)dx
	1+x2

	x2+1−1
∫ln2(1+x2)dx=xln2(1+x2)−4∫		ln(1+x2)dx
	1+x2

	ln(1+x2)
∫ln2(1+x2)dx=xln2(1+x2)−4∫ln(1+x2)dx+4∫		dx
	1+x2

	2x2		ln(1+x2)
∫ln2(1+x2)dx=xln2(1+x2)−4(xln(1+x2)−∫		dx)+4∫		dx
	x2+1		1+x2

	x2+1−1		ln(1+x2)
∫ln2(1+x2)dx=xln2(1+x2)−4xln(1+x2)+8∫		dx+4∫		dx
	x2+1		1+x2

	ln(1+x2)
∫ln2(1+x2)dx=xln2(1+x2)−4xln(1+x2)+8x−8arctgx+4∫		dx
	1+x2

	ln(1+x2)
Jeśli chodzi o całkę ∫		dx
	1+x2

to w rzeczywistych niewiele już da się zrobić (możesz jedynie zdefiniować własną funkcję)

	1
W zespolonych jednak ułamek		się rozkłada więc możesz go rozłożyć
	1+x2

	1
Rozłóż ułamek		na sumę zespolonych ułamków prostych a następnie
	1+x2

skorzystaj z własności logarytmu doprowadzisz wtedy do już zdefiniowanej funkcji

Mariusz:

	ln(1+x2)
∫		dx
	1+x2

1		A		B
	=		+
1+x2		1−ix		1+ix

1		A(1+ix)+B(1−ix)
	=
1+x2		(1−ix)(1+ix)

1		A+B+iAx−IBx
	=
1+x2		(1−ix)(1+ix)

A+B=1 i(A−B)=0 B=A

	1
A=
	2

	ln(1+x2)		1		1		1
∫		dx=		∫ln(1+x2)(		+		)dx
	1+x2		2		1−ix		1−ix

	ln(1+x2)		1		1		1
∫		dx=		∫(ln(1+ix)+ln(1−ix))(		+		)
	1+x2		2		1−ix		1+ix

	ln(1+x2)
∫		dx=
	1+x2

1		ln(1+ix)		ln(1+ix)		ln(1−ix)		ln(1−ix)
	∫(		+		+		+		)dx=
2		1−ix		1+ix		1−ix		1+ix

1		ln(1+ix)		1		ln(1+ix)
	∫		dx+		∫		dx+
2		1−ix		2		1+ix

1		ln(1−ix)		1		ln(1−ix)
	∫		dx+		∫		dx
2		1−ix		2		1+ix

1		ln(1+ix)
	∫		dx
2		1−ix

2t=1+ix 2dt=idx −2idt=dx 2t=1+ix 2−2t=2−(1+ix)

1		ln(1+ix)		ln(2t)
	∫		dx=−i∫
2		1−ix		2−2t

1		ln(1+ix)		1		ln(2)+ln(t)
	∫		dx=−		i∫		dt
2		1−ix		2		1−t

ln(2)		1
	*i*ln(1−t)−		*i*dilog(t)+C
2		2

	i
=		(ln(2)ln(1−t)−dilog(t))+C
	2

	i		1+ix
=		(ln(2)ln(1−ix)−dilog(		))+C1
	2		2

1		ln(1+ix)
	∫		dx
2		1+ix

t=ln(1+ix)

	i
dt=		dx
	1+ix

	1
−idt=		dx
	1+ix

	i		i
−		∫tdt=−		t2+C2
	2		4

	i
=−		ln2(1+ix)
	4

1		ln(1−ix)
	∫		dx
2		1−ix

t=ln(1−ix)

	−i
dt=		dx
	1−ix

	1
idt=		dx
	1−ix

i		i
	∫tdt=		t2+C3
2		4

1		ln(1−ix)		i
	∫		dx=		ln2(1−ix)+C3
2		1−ix		4

1		ln(1−ix)
	∫		dx
2		1+ix

2t=1−ix 2dt=−idx 2idt=dx 2−2t=2−(1−ix) 2−2t=1+ix

	ln(2t)		i		ln(2)		ln(t)
i∫		dt=		(∫		+∫		dt)
	2−2t		2		1−t		1−t

i
	(−ln(2)ln(1−t)+dilog(t))+C4
2

i		1−ix
	(−ln(2)ln(1+ix)+dilog(		))+C4
2		2

Po dodaniu i uproszczeniu tych całek otrzymasz

	ln(1+x2)		1
∫		dx=		arctg(x)(2ln(2)+ln(1+x2)) −
	1+x2		2

	i		1+ix		1+ix
		(dilog(		)−dilog(		))
	2		2		2

Ostatecznie otrzymasz ∫ln²(1+x²)dx=xln²(1+x²)−4xln(1+x²)+8x−8arctg(x)+2arctg(x)(2ln(2)+ln(1+x²))

	1+ix		1+ix
−2i(dilog(		)−dilog(		))+C
	2		2

	ln(t)
gdzie dilog(x)=∫1x		dt
	1−t

Gdybyś chciał mieć wynik zgodny z Wolfram alpha to musiałbyś użyć funkcji Li₂(x)

Mariusz: * zapomniałem zmienić znaku przy argumencie funkcji dilog ∫ln²(1+x²)dx=xln²(1+x²)−4xln(1+x²)+8x+2arctg(x)(2ln(2)−4+ln(1+x²))

	1+ix		1−ix
−2i(dilog(		)−dilog(		))+C
	2		2

	ln(t)
gdzie dilog(x) = ∫1x		dt
	1−t

Błąd powstał bo po skopiowaniu tego diloga nie zmieniłem znaku w jego argumencie

Mariusz:

	ln(1+x2)
Co do całki ∫		dx
	1+x2

	arcsin(x)
to otrzymałem ją gdy liczyłem całkę ∫		dx
	x

	arcsin(x)		ln(x)
∫		dx=ln(x)arcsin(x)−∫		dx
	x		√1−x2

	ln(x)
∫		dx
	√1−x2

√1−x²=xt−1 1−x²=x²t²−2tx+1 −x²=x²t²−2tx x²t²+x²−2tx=0 x(xt²+x−2t)=0 Przypadek gdy x=0 odrzucamy xt²+x−2t=0 x(t²+1)−2t=0

	2t
x=
	t2+1

	2t2−t2−1
xt−1=
	t2+1

	t2−1
xt−1=
	t2+1

	2(t2+1)−2t*2t
dx=		dt
	(t2+1)2

	−2(t2−1)
dx=		dt
	(t2+1)2

	ln(x)		2t		t2+1	(t2−1)
∫		dx=−2∫ln(		)			dt
	√1−x2		1+t2		t2−1	(t2+1)2

	ln(x)		2t   ln( )   1+t2
∫		dx=−2∫		dt
	√1−x2		1+t2

	ln(x)		ln(2)		ln(t)		ln(1+t2)
∫		dx=−2(∫		dt+∫		dt−∫		dt)
	√1−x2		1+t2		1+t2		1+t2

	ln(x)		ln(t)		ln(1+t2)
∫		dx=−2ln(2)arctg(t)−2∫		dt+2∫		dt
	√1−x2		1+t2		1+t2

No i aby policzyć te całki potrzebujemy funkcji którą Maple definiuje jako

	ln(t)
dilog(x)=∫1x		dt
	1−t

a Mathematica jako

	ln(1−t)
Li2(x)=−∫0x		dt
	t