pierwiastek kwadratowy rutek: Obliczyć pierwiastek kwadratowy z danej macierzy o elementach zespolonych [−6 5] [−2 1] czy ktoś mógłby mi pokazać jak to zrobić?

chichi: W którym momencie masz problem, bo trzeba się trochę nadłubać, dziś na pewno tego tu nie przepiszę

rutek: rzecz w tym że ja nie wiem nawet jak zacząć

mat: idea ta sama co w liczbach rzeczywsitych, pierwiastek z 9 to 3 bo 3*3 = 9 twój pierwiastek to macierz X, która musi spełniać X*X = [−6 5] [−2 1]

mat: X = [a b] [c d] Wymnóż sobie X*X i dostaniesz warunki a²+bc = −6 ab+bd = 5 ac + cd = −2 bc +d² = 1

mat: https://www.wolframalpha.com/input/?i=a%5E2%2Bbc+%3D+-6%2C+ab%2Bbd+%3D+5%2C+ac+%2B+cd+%3D+-2%2C+bc+%2Bd%5E2+%3D+1

chichi: Wolframem to sobie można wszystko zrobić

mat: b(a+d) = 5 c(a+d) = −2 dzielimy stronami (zakładam że a+d≠0) b/c = −5/2 −−−> 2b = −5c −−−> b = −5/2c ....

chichi: No ja za Ciebie kończył nie będę

rutek: nie wiem jak rozwiazac ten uklad czy to jest jedyny sposob?

chichi: Jak będę miał dłuższą chwilę to wklepię

chichi: Wyznaczam wielomian charakterystyczny macierzy A F_A(λ)=|−6−λ 5| = λ²+5λ+4 = (λ+4)(λ+1) ⇒ Sp(A) = {−4, −1} − zb. wart. własnych endomorfizmu φ |−2 1−λ| Dla λ₁=−4 mamy: [−2 5] [x₁] = [0] [−2 5] [x₂] = [0]

⎧	−2x1+5x2 = 0
⎩	−2x1+5x2 = 0

−2x₁+5x₂ = 0 ⇒ v₁ = [5, 2] Dla λ₂=−1 mamy: [−5 5] [x₁] = [0] [−2 2] [x₂] = [0]

⎧	−5x1+5x2=0
⎩	−2x1+2x2=0

x₁=x₂ ⇒ v₂ = [1, 1] β = ( [5, 2], [1 ,1] ) − przykładowa baza v₁, v₂ − wektory własne o wart. własnych (−4) i (−1) B=[−4 0] macierz endomorfizmu φ w bazie β, C=[5 1] [0 −1] [2 1] Szukam macierzy odwrotnej do macierzy C: [5 1 | 1 0] [1 −1 | 1 −2] | | | −−−w₁→w₁−2w₂−−−−> | | | [2 1 | 0 1] [2 1 | 0 1] [1 −1 | 1 −2] [1 −1 | 1 −2] | | | −−−w₂→w₂−2w₁−−−−> | | | [2 1 | 0 1] [0 3 |−2 5] [1 −1 | 1 −2] [1 0 |1/3 −1/3]

	1
| | | −−−w2→		w2−−−−w1w2−−−−> | | |
	3

[0 3 |−2 5] [0 1|−2/3 5/3] Zatem mamy, że: C⁻¹ = 1/3 [1 −1] [−2 5] Niech macierz Y=[a b], wówczas musimy rozwiązać taki układ równań: [c d]

⎧	a2+bc=−4
⎜	b(a+d)=0
⎨	c(a+d)=0
⎩	cb+d2=−1

Zauważmy, że a+d≠0, bo wtedy a²=d² i mamy sprzeczność w I i IV, zatem → b=c=0 Stąd wprost dostajemy a=±2i ∧ d=±i i mamy: Y₁ = ±i [2 0] ∨ Y₂ = ±i [2 0] [0 1] [0 −1] Dla Y₁ mamy: √A = ±i/3 [5 1] [2 0] [1 −1] = ±i/3 [8 −5] [2 1] [0 1] [−2 5] [2 1] Dla Y₂ mamy: √A = ±i/3 [5 1] [2 0] [1 −1] = ±i [4 −5] [2 1] [0 −1] [−2 5] [2 −3]

chichi: Jak masz wyniki to najlepiej daj znać czy się gdzieś nie pomyliłem w ostatnim mnożeniu macierzy

rutek: tak wyniki sie zgadzaja dziekuja. a skad sie bierze to mnozenie na koncu?

rutek: halo?