Sprawdź prawdziwość twierdzenia Patryk: Cześć Mam polecenie aby sprawdzić prawdziwość poniższego twierdzenia i podstawiając przykładowe liczby mogę zauważyć, że twierdzenie jest zawsze prawdziwe, ale nie wiem czy to wystarcza czy trzeba jeszcze słownie to opisywać. Twierdzenie: Jeżeli n jest liczbą niedodatnią lub x jest liczbą niedodatnią to iloczyn liczb n i x jest mniejszy lub równy od ich sumy.

wredulus_pospolitus: przecież to twierdzenie nie jest poprawne: ∀_n≤0 ∀_x≤0 n*x ≤ n + x niech n = −1 ; x = −1 n*x = 1 > 0 > −2 = n+x koooniec

a7: to nieprawda, gdyż np. dla n−=5 x=−2 to ich iloczyn równy 10 a suma −7

wredulus_pospolitus: a co do samego dowodu: 1) jeżeli chcesz udowodnić poprawność dowodu to musisz to wykazać dla DOWOLNEJ wartości n oraz DOWOLNEJ wartości x (które spełniają założenia dane w twierdzeniu) 2) jeżeli chcesz zaprzeczyć twierdzeniu ... wystarczy odnaleźć jeden kontrprzykład (takie wartości n i x które spełniają założenia, ale twierdzenie nie jest spełnione)

Patryk: Jeśli w twierdzeniu mam: "Jeżeli n jest liczbą niedodatnią lub x jest liczbą niedodatnią" to nie oznacza to, że jedna z nich jest niedodatnia a druga dodatnia?

wredulus_pospolitus: "LUB" oznacza że jedno ma być prawdą LUB drugą ... czyli dopuszczona jest możliwość, że zarówno jedno jak i drugie jest prawdą. Warto zapamiętać to −−− nie jeden adwokat się na tym przejechał

a7: ja rozumiem, że lub (po matematycznemu) oznacza, że jedna , druga, a także obie mogą być nie dodatnie

wredulus_pospolitus: albo jak wolisz: ( n ≤ 0 ) ∨ ( x ≤ 0 ) zwraca FAŁSZ tylko w przypadku gdy n>0 ∧ x>0 (obie liczby dodatnie)

wredulus_pospolitus: @a7 −−− nie tylko 'po matematycznemu'. Logika jest stosowana w codziennym życiu, to że w potocznej mowie 'lub' traktowane jest jako wybranie jednej z dwóch ewentualności jest błędem, które jest nam wpajane od najmłodszych lat. Teraz taka mała anegdota. Jakiś czas temu z ojcem jeździłem do Warszawy na konsultacje społeczne dotyczące zmian w prawie (konkretna branża). Na jednym ze spotkań, gdy dyskutowano nad kolejnymi zmianami w zapisie jeden z prezesów zaproponował zapis w którym użył zwrotu: "i/lub". Na co odezwał się jakiś człowiek (prawnik) z działu legalizacyjnego, że to określenie jest całkowicie zbyteczne ... wystarczy samo "lub" bo ono nie wyklucza możliwości zajścia obu opcji. Nawet nie wiesz jak wielkie zaskoczenie pojawiło się na twarzach wielu prezesów, którzy w większości ocierają się o emeryturę.

Patryk: W jaki sposób najlepiej sprawdzać takie twierdzenia? Podstawiać po kolei liczby aż znajdziemy jakieś podobieństwo licząc na trafienie kontrprzykładu czy jakoś inaczej do nich podejśc?

wredulus_pospolitus: zależy od twierdzenia ... najlepiej na początek podstawić jakieś liczby (ale by się jakoś różniły) ... postarać się znaleźć jakieś 'skrajne' przypadki a jeżeli nie znajdziesz kontrprzykładu i wydaje się, że to może być poprawne twierdzenie ... to się bierzesz za jego wykazanie

Patryk: Właśnie ćwiczę to kolokwium i już rozwiązuje któryś przykład z kolei pana profesora z poleceniem "Sprawdź czy twierdzenie jest prawdziwe" i każde wychodzi fałszywe i wydaje mi się, że nie stawia tutaj na dowodzenie tych twierdzeń tylko na znalezienie kontrprzykładu

a7: tak wredulusie "po matematycznemu" to skrót myślowy, bo rzeczywiście logika jest stosowana i obowiązuje nie tylko w matematyce powinno być to napisane co najmniej w cudzysłowie... lub opatrzone komentarzem ok?

wredulus_pospolitus: całkiem możliwe ... w czasami trudniej jest posiedzieć chwilę i znaleźć przykład dla którego coś się nie zgadza ... niż 'sztampowe' dowodzenie prawdy

Patryk: Jeszcze mam jedno twierdzenie, ale do tego nawet kontrprzykładu nie mogę znaleźć i wydaje mi się, że to będzie prawdziwe. Dla liczb naturalnych: Jeżeli n nie dzieli x to liczba n³ nie dzieli x²

Patryk: Jeśli miałby ktoś pomysł jak to uzasadnić lub zaprzeczyć (podać kontrprzykład) to prosiłbym o pomoc

a7: no ja mam pomysł nie wiem czy trafiony

a7: dla liczb parzystych założenie:n nie dzieli m n i m parzyste czyli n=2a m=2b założenie:2a nie dzieli 2b (na pewno więc a różne od b) (2a)³=8a³ (2b)²=4b² jeśliby 4b² miało być podzielne przez 8a³ to b² musiałoby być parzyste, a więc i b musiałoby być parzyste m=4c czyli 16c² podzielne przez 8a³ czyli równe (2c²)/(a³) (i to ma być liczba naturalna) czyli a³ musi być liczbą parzystą czyli a musi być liczbą parzystą teraz mamy "zapętlenie" , gdyż n=4d m=4c n³=64d³ m²=16c² i widzimy, że 16c² aby było podzielne przez 64d² znowu prowadzi do kolejnych założeń, że c² musi być podzielne przez 4 itd. widzimy, że dla liczb naturalnych przystych nie jest to spełnione czyli Prawda

a7: teraz dla liczb nieparzystych

a7: założenie n nie dzieli m (czyli na pewno n różne m) n=a i m≠k*a i m=b gdyby a³ miało dzielić b² to b² musiałoby mieć w rozkladzie na czynniki pierwsze a³ czyli b²=a³*c² , co jest sprzeczne z wcześniejszymi założeniami gdyż b≠k*a ?

a7: ponadto a nie byłoby wtedy liczbą nieparzystą