Kwantyfikatory Patryk: Witam Mam takie polecenie i chciałbym prosić o sprawdzenie rozwiązań: Udowodnij lub znajdź kontrprzykład na twierdzenia: 1. ∀_x∊R∃_y∊R |x−y| = |x| − |y| 2. ∃_m∊R∀_x∊R x²+2mx+1>0 3. ∀_x∊ℕ∀_x∊ℕ (n>m ∨ n−m∊ℂ) 4. ∃_x∊R∀_y∊R x²+y=(x+y)² 1. dla y=0 twierdzenie będzie zawsze prawdziwe dla każdego "x" −> |x−0| = |x|−0 = |x|=|x| 2. tw prawdziwe gdy Δ<0 => m²−1<0 −> m ∊(−1; 1)∊R czyli dla dowolnej liczby 'm' z tego przedzialu twierdzenie bedzie prawdziwe dla dowolnego x∊R 3. np. dla n=2, m=1 to 2>1 oraz np. dla n = 1, m = 2: ~(1>2) ale 1−2 = −1 = i ∊ ℂ czyli twiedzenie jest prawdziwe 4. rozpisałem na: x²+y=x²+2xy+y² y=2xy+y² ale nie wiem jak to dalej ruszyć

ICSP: 4)Szukasz takiego rzeczywistego x aby równość zachodziła bez względu na wybór rzeczywistego y. W takim razie dla np y = 1dostajesz x = 0. Natomiast dla y = −1 dostajesz x = 1 Taki x nie istnieje, więc twierdzenie jest błędne. 2) Widać członek SND. Prościej było podstawić m = 0. 3) Drugi warunek jest zawsze spełniony, więc alternatywa będzie prawdziwa. Dowód twierdzenia oparty o 2 szczególne przypadki nie jest żadnym dowodem. Co z liczbami n = 2 , m = 2 oraz n = 3 , m = 1 oraz n = 2 , m = 3 , itd.

Patryk: Ok, dzięki. Pytanie tylko do przykładu 4: wystarczy tutaj pokazać, że dla dwóch różnych wartości "y" wychodzi inna wartość "x"?

wredulus_pospolitus: Patryk −−− co nie

wredulus_pospolitus: i od kiedy −1 = i ... że co co do (4) rozpisałeś y = 2xy + y² −−−> y² + 2xy − y = 0 −−−> y(y + 2x −1) = 0 czyli równość ta zachodzi dla y = 0 lub y = −2x+1 (czyli dla każdego 'x' zachodzi dla maksymalnie dwóch wartości 'y')

Patryk: A tak, literówka. Miało być i². Dzięki za wytłumaczenie przykładu 4.