całka Werka:

	x3−x
Całka ∫		dx=?
	(x2+1)(x−1)2

wredulus_pospolitus: rozkładaj na ułamki proste

wredulus_pospolitus: albo wcześniej: x³ − x = x(x²−1) = x(x−1)(x+1) skracasz i masz łatwiejszą robotę przy rozkładaniu na ułamki proste

Werka:

Ax+B		C
	+		ale nie wiem co dalej
x2+1		x−1

wredulus_pospolitus: wyznacz A,B,C (Ax+B)(x−1) = ... C(x²+1) = ... i przyrównujesz współczynniki przy potęgach: przy x²: 1 = A + C przy x¹: 0 = −A + B przy x⁰ 1 = −B + C

wredulus_pospolitus: oczywiście źle podpisałem x²: 0 = ... x₁: 1 = ... x₀: 1 = ...

Werka: Skąd to 0 = −A + B oraz 1 = −B + C ?

wredulus_pospolitus:

x−1		Ax+B		C		(Ax+B)(x−1) + (x2+1)C
	=		+		=		=
(x2+1)(x−1)		x2+1		x−1		(x2+1)(x−1)

czyli:

x−1		x2(A + C) + x(−A+B) + (−B+C)
	=
(x2+1)(x−1)		(x2+1)(x−1)

stąd: 0 = A+C 1 = −A+B −1 = −B+C

Werka: Skąd wziąłeś w liczniku x−1 ?

Werka: A co z x ? Uprościłeś go jakoś?

daras: nie wiesz co dalej? to poczytaj o tym https://www.google.com/search?client=firefox-b-d&q=rozk%C5%82ad+na+u%C5%82amki+proste+ca%C5%82ki

Werka: daras możesz wyjaśnic czemu w liczniku jest x−1 a nie x²+1

Mila:

x3−x		x(x2−1)
	=		=
(x2+1)*(x−1)2		(x2+1)*(x−1)2

	x*(x−1)*(x+1)
=		=
	(x2+1)(x−1)2

	x*(x+1)
=
	(x2+1)*(x−1)

Ułamki proste:

x*(x+1)		A		Bx+C		A(x2+1)+(Bx+C)*(x−1)
	=		+		=		⇔
(x2+1)*(x−1)		x−1		x2+1		(x2+1)*(x−1)

x*(x+1)=A(x²+1)+(Bx+C)*(x−1) x²+x=Ax²+A+Bx²−Bx+Cx−C=(A+B)x²+x*(C−B)+A−C A+B=1 C−B=1 A−C=0 ===== A+C=2 i A=C 2A=2 A=1 , B=0, C=1 ================

x*(x+1)		1		1
	=		+
(x2+1)*(x−1)		x−1		x2+1

Mila: Licz całki:

	1		1
∫		dx+∫		dx
	x−1		x2+1

Werka: Dzieki bardzo

daras: ...= ln|x−1| + arctgx + C