Szereg potęgowy Werka: Rozwiń funkcję ln(1+x)/(1+x) w szereg potęgowy o środku w zerze Czy mógłby ktoś wytłumaczyć mi to zagadnienie?Pozdrawiam

piotr: (ln(1+x))' = 1/(1+x) 1/(1+x) = ∑_n=0^∞(−x)ⁿ |x|<1, (szereg geometryczny)

	(−x)n+1
ln(1+x) = ∫∑n=0∞(−x)ndx = ∑n=0∞
	n+1

i teraz pomnożyć szeregi, a w praktyce tylko określoną liczbę ich pierwszych wyrazów

piotr: w drugim szeregu powinno być w liczniku: (−1)ⁿxⁿ⁺¹ (x − x²/2 + x³/3 − x⁴/4 + x⁵/5 + O(x⁶))*(1 − x + x² − x³ + x⁴ + O(x⁵))

jc:

	1+x
ln		=ln 1 = 0
	1+x

Może miało być

	1+x
ln		= ln (1+x) − ln (1−x) = (x−x2/2+x3/3−x4/4+...) + (x+x2/2+x3/3+x4/4+...)
	1−x

= 2(x + x³ /3 + x⁵ /5 + ...) ?

Werka: Dziękuję bardzo Piotrze! jc dziękuję za pomoc, ale dobrze przepisałam polecenie pozdrawiam

jc: W takim razie po wymnożeniu (wg piotra) otrzymujemy:

ln(1+x)
	= H1x − H2x2 + H3x3 − H4x4 + ...
1+x

gdzie H_n = 1+ 1/2 + 1/3 + ... + 1/n

piotr: (x − x²/2 + x³/3 − x⁴/4 + x⁵/5) (1 − x + x² − x³ + x⁴)= =x⁹/5 − (9 x⁸)/20 + (47 x⁷)/60 − (77 x⁶)/60 + (137 x⁵)/60 − (25 x⁴)/12 + (11 x³)/6 − (3 x²)/2 + x ale bierzemy pod uwagę tylko te do 5−stopnia włącznie

jc:

	12+6+4+3		25
piotrze, możesz dla przykładu sprawdzić, że H4 = 1+1/2+1/3+1/4=		=		.
	12		12