liczby zespolone anonim123: Mam dwa zadania z liczb zespolonych w pierwszym wychodzą mi kwadraty i przez to jest trudne do policzenia i nie wiem jak to zrobić polecenie dla obydwu oblicz pierwsze zadanie: |z|+z sprzężone=8+4i W drugim wychodzi mi i a ma wyjść −i drugie zadanie

	1+i
(		)7
	1−i

6latek:

1+i		(1+i)1
	=		= U{2i}[2}= i
1−i		2

i⁷= (i²)⁵=−1⁵=−1

6latek:

	1+i)2
ma byc
	2

chichi: Cześć @6latek, a skąd to i⁷=(i²)⁵ ?

chichi: i⁷ = i⁶ * i = −i

6latek: Noz kurwa znowu takie bledy i⁷=i⁶*i=−1*i=−i

getin: z = a+b*i z' = a−b*i |z| = √a²+b² √a²+b² + a−b*i = 8+4i √a²+b² = 8+4i−a+b*i √a²+b² = 8−a + (4+b)*i podnosimy obustronnie do kwadratu a²+b² = (8−a)² + 2*(8−a)*(4+b)*i + (4+b)²*i² a²+b² = 64−16a+a² + 64i + 16b*i − 8a*i − 2ab*i − 16 − 8b − b² 2b²+16a + 8b − 48 + (8a−16b+2ab−64)*i = 0 2b²+16a+8b−48 = 0 8a−16b+2ab−64 = 0 b²+8a+4b−24 = 0 4a−8b+ab−32 = 0

	24−4b+b2
a =
	8

	8b+32
a =
	b+4

24−4b+b2		8b+32
	=
8		b+4

8(8b+32) = (b+4)(24−4b+b²) 64(b+4) = (b+4)(b²−4b+24) 0 = (b+4)(b²−4b+24) − 64(b+4) 0 = (b+4)(b²−4b+24−64) 0 = (b+4)(b²−4b−40) b = −4 Δ = (−4)²−4*1*(−40) = 16+160 = 176 √Δ = 4√11

	4−4√11
b1 =		= 2−2√11
	2

	4+4√11
b2 =		= 2+2√11
	2

	8b+32		8(b+4)
a =		=		= 8
	b+4		b+4

Odp. a₁=8, b₁ = −4 lub a₂=8, b₂ = 2−2√11, a₃ = 8, b₃ = 2+2√11 drugie zadanie:

	1+i
(		)7
	1−i

1+i		(1+i)(1+i)		1+i+i+i2		1+2i−1		2i
	=		=		=		=		=
1−i		(1−i)(1+i)		1−i2		1−(−1)		2

i

	1+i
(		)7 = i7 = (i2)3 * i = (−1)3 * i = −1*i = −i
	1−i

ICSP: |z|+z sprzężone=8+4i |z| = 8 + 4i − z* Ponieważ liczba po lewej stornie jest rzeczywista to liczba znajdująca się po prawej również musi być rzeczywista. Jeżeli przyjmiemy: z = x + iy to z powyższego dostajemy y = −4 zatem z = x − 4i √x² + 16 + x + 4i = 8 + 4i √x² + 16 = 8 − x dla x ≤ 8 // podnosząc stronami do kwadratu x² + 16 = 64 − 16x + x² 16x = 16(4 − 1) x = 4 − 1 = 3 z = 3 − 4i

ICSP: znane są wzorki: (1+i)²ⁿ = (2i)ⁿ (1−i)²ⁿ = (−2i)ⁿ prawdziwe dla liczby naturalnej n.

	1 + i		1+i		8i3		(1+i)2
(		)7 =		* (		) = −		= − i
	1−i		1−i		−8i3		2

Filip: albo bez kombinacji i innych dziwolagow i wzorow

	1 + j		(1 + j)(1 + j)		j2
(		)7 = (		)7 = (		)7 = j7 = −j
	1 − j		(1 − j)(1 + j)		2

daras: i w ten sposób z "i" zrobiło się "j" czy to postęp?

anonim123: ICSP a dlaczego w 13:34 przeniosłeś x i dlaczego napisałeś x mniejsze bądź równe 8?

anonim123: Może ktoś inny odpowiedzieć?

6latek: Zeby podniesc do kwadratu musisz miec obie strony nieujemne √x²+16=8−x lewa strona nieujemna z zalozenia P=8−x≥0 −x≥−8 x≤8 (dzielisz przez liczbe ujemna

anonim123: A dlaczego ICSP mógł przenieść x?

daras: bo mu wolno

anonim123: myślałam że części rzeczywistych i urojonych nie wolno przenosić czy jest inaczej?

ICSP: x jest liczbą rzeczywistą (nie napisałem tego ale wynika to bezpośrednio z zapisu z = x +iy) To jest równanie w liczbach rzeczywistych a nie w zespolonych.

anonim123:

	5−i
A jak podzielić		? Czekam jeszcze na odpowiedź z 19:42
	3+2i

anonim123: skąd mam wiedzieć że to jest równanie na liczbach rzeczywistych?

Filip: tego sie nie dzieli

5 − j		3 − j2		(5 − j)(3 − j2)
	*		=
3 + j2		3 − j2		9 + 4

anonim123: Dlaczego to jest na liczbach rzeczywistych bo ICSP pisze że po lewej stronie jest liczba rzeczywista a chyba jest po prawej?

Mila: |z|− liczba rzeczywista ( odległość liczby z od (0,0) ) np. jeśli: z=x+iy, gdzie x,y∊R to |z|=p{x²+y²|− to jest liczba rzeczywista dla z=5+2i |5+2i|=√25+4=√29

Mila: Poprawiam zapis: |z|=√x²+y²

anonim123: A z sprzężone też jest liczbą rzeczywistą bo tam po lewej stronie równania zrobionego przez ICSP tak jest?

Mila: |z| = 8 + 4i − z* cała prawa strona ma wyjść rzeczywista , to znaczy, że suma części urojonych ma wyjść 0 ! Poczytaj dokładnie rozwiązanie ICSP.

6latek: Dobry wieczor Milu Nie wiesz moze co sie dzieje z Jerzym ? dawno go nie bylo na forum mam nadzieje ze to nie covid .

Mila: Dobry wieczór. Ostatni raz Jerzy był na forum 2 maja. Nie zauważyłam, aby się skarżył na problemy ze zdrowiem. Pewnie jest zajęty Janek wrócił na forum i udziela się− to dobrze.

anonim123: czyli prawa strona jest rzeczywista i na tej podstawie stwierdzam że lewa również?

6latek: nawet PW tez sie pokazal . Pewnie z oczami lepiej .

ABC: PW jak widzi "pierwiastki równania" to nie wytrzyma , musi się odezwać

anonim123: czekam na odpowiedź do pytania z 21:40

anonim123: ?

ICSP: nie. Lewa strona jest rzeczywista i na tej podstawie stwierdzasz, że prawa również musi być rzeczywista. Napisałem to o 13:34.

anonim123: A dlaczego z sprzężone to liczba rzeczywista?

ICSP: z^* nie musi być liczbą rzeczywistą.

anonim123: już rozumiem

anonim123: A 8 po prawej stronie to nie jest liczba rzeczywista bo tylko 8 tam zostaje?

anonim123: dlaczego stwierdzam że lewa strona jest rzeczywista a nie prawa?

ICSP: bo moduł liczby zespolonej jest liczbą rzeczywistą. Wynika to bezpośrednio z jego definicji. Skoro lewa strona jest rzeczywista to aby zachodziła równość prawa strona również musi być liczba rzeczywista. To podstawy.

anonim123: a nie mogę stwierdzić odwrotnie że prawa jest rzeczywista i na tej podstawie lewa rzeczywista bo prawa to 8?

ICSP: Prawa to 8 + 4i − z^* i nie musi być ona zawsze rzeczywista. Lewa zawsze jest.

anonim123: A dlaczego z sprzężone zostało przeniesione?

ICSP: Aby uczynić lewą stronę rzeczywistą.

anonim123: to z sprzężone możemy bezkarnie przenosić na drugą stronę czy są jeszcze jakieś inne wartości które mogę tak przenosić?

ICSP: Możemy

anonim123: A skąd x+4i po lewej stronie

anonim123: czyli wszystko mogę tak przenosić?

ICSP: Wszystko

anonim123: A skąd x+4i po lewej stronie

anonim123: ?

ICSP: z równania |z| + z^* = 8 + 4i po wcześniejszym wyznaczeniu z = x − 4i