planimetria jendrzej: Dany jest trójkąt prostokątny 𝐴𝐵𝐶. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest pięć razy krótszy od przeciwprostokątnej tego trójkąta. Oblicz sinus tego z kątów ostrych trójkąta 𝐴𝐵𝐶, który ma większą miarę

	a+b−c		c		a+b−c		7c		7
r=				=				=a+b/:c sinα+cosα=		/2
	2		5		2		5		5

	49		24		24
sin2α+2sinαcosα+cos2α=		2sinαcosα=		2sinαsinβ=
	25		25		25

	12
sinαsinβ=		brakuje mi puenty
	25

janek191:

	24
2 sin α*cos α =		/ : 2
	25

	12
sin α* √1 − sin2α=		podnosimy do kwadratu
	25

	144
sin2α*(1 − sin2α) =
	625

sin²α = t 0 < t < 1

	144
t*(1 − t) =
	625

	144
− t2 + t −		= 0
	625

	144
t2 − t =		= 0
	625

	49
Δ =
	625

	7
√Δ =
	25

	9		16
t =		lub t =
	25		25

	9		16
sin2 α =		lub sin α =
	25		25

	3		4
sin αα =		lub sin α =
	5		5

Bierzemy większy kąt, więc

	4
Odp.		.
	5

jendrzej: Dzięki janek191:

figa:

	a		b		7
a+b=2r+2R ⇒ a+b=7r / :5r ⇒		+		=
	5r		5r		5

	7
to sinα+cosα=		|2
	5

	24		24		7
2sinαcosα=		⇒ sin2α=		to cos2α=
	25		25		25

ze wzoru cos2α=1−2sin²α

	7		3
to 2sin2α= 1−		⇒ sinα=
	25		5

	4
zatem sinβ= cosα=
	5

=============

Hubert888: A skąd wiemy że taki trójkąt nie będzie trójkątem prostokątnym równoramiennym

an: czy nie prościej z Pitagorasem obwód to 2*5+2*1=12 a+b+5=12 a=7−b a²+b²=5² b₁=3 a₁=4 b₂=4 a₂=3 większy kąt leży naprzeciw większego kąta

	4
sinα=
	5

. : Hubert, początkowo nie wiemy, ale to nie zmienia sposobu rozwiązania @an − a na jakiej podstawie zakładasz r=1

an: czego nie wiemy ? r=1 czyli jedna jednostka długości c=5*r=5 czyli pięć jednostek długości źle napisałem oczywiście powinno być większy kąt leży naprzeciw większego boku

wredulus_pospolitus: @an ... 'nie wiemy' odnosiło się do Hubertowego pytania odnośnie tego czy taki trójkat może być trójkątem prostokątnym równoramiennym. ponownie −−− PRZYJMUJESZ sobie r = 1, co oczywiście można zrobić ... natomiast gdybyś tak napisał na maturze to powinni (ale pewnie by tego nie zrobili) za to obciąć punkty.

an: Ja pokazałem, że zadanie może rozwiązać osoba nie znająca trygonometrii. Nie mogą być równe co wyraźnie widać, z wyników można to także potwierdzić przy pomocy wzoru na promień okręgu wpisanego, a także robiąc rysunek i zauważając, że

	5
√2 + 1<		, trzeba tylko trochę chcieć.
	2

Nie podlegam Twojej ocenie na maturze, którą zdawałem z pradziadkami większości tu piszących. Kiedyś dyskutowaliśmy o gotowcach, ja tu i tak za dużo napisałem uczeń powinien dostać tylko wskazówki, a dokładniejszą podpowiedź na zadane przez niego pytanie.

Mila: Do sposobu an, wystarczy dodać komentarz, że podobieństwo nie zmienia wartości funkcji trygonometrycznych.

wredulus_pospolitus: @Miluś ... albo po prostu wszędzie pisać 'r' które i tak będzie się skracać przy ułamkach.

Mila: Ja piszę r , ale to więcej rachunków Pozdrawiam z wielkanocnymi życzeniami: WESOŁYCH ŚWIĄT !