rrr rrr: Mam takie równanie y'+y=5sin3x y'+y=0 y=ce^−x y=c(x)e^−x y'=c'(x)e^−x−c(x)e^−x

	5xsin3x
c'(x)=
	e

	5
c(x)=		∫xsin3xdx, i tutaj liczę przez części dalej, pytanie czy to jest dobrze rozwiązane?
	e

Mariusz: Zgubiiłeś x w funkcji e^x a co za tym idzie nie wyciągniesz e^x przed znak całki y=C(x)e^−x to jest ok (C'(x)e^−x−C(x)e^−x)+C(x)e^−x=5xsin3x C'(x)e^−x=5xsin3x C'(x)=5xe^xsin3x C(x)=∫5xe^xsin3xdx i teraz możesz co najwyżej piątkę wyciągnąć przed znak całki C(x)=5∫xe^xsin3xdx a dalej tak, liczysz przez części

kerajs: Rozwiązanie szczególne można odgadnąć jako: y_s=A sin 3x +B cos 3x stąd y'_s=3A cos 3x −3B sin 3x więc: (3A cos 3x −3B sin 3x)+(A sin 3x +B cos 3x)=5 sin 3x

	1		−3
A=		∧ B=
	2		2

	1		−3
Odp: y=Ce−x+		sin 3x +		cos 3x
	2		2

Jan: Ok, dzięki wielkie. A jak zacząć rozwiązywanie tej całki 5∫xe^xsin3xdx

Mariusz: Przez części ∫e^x(xsin3x)dx=e^x(xsin3x)−∫e^x(sin3x+3xcos3x)dx ∫e^x(xsin3x)dx=e^x(xsin3x)−∫e^xsin3xdx−3∫e^x(xcos3x)dx ∫e^x(xsin3x)dx=e^x(xsin3x)−∫e^xsin3xdx−3(e^x(xcos3x)−∫e^x(cos3x−3xsin3x)dx) ∫e^x(xsin3x)dx=e^x(xsin3x)−∫e^xsin3xdx−3e^x(xcos3x)+3∫e^xcos3xdx−9∫xe^xsin3xdx 10∫e^x(xsin3x)dx=e^x(xsin3x)−3e^x(xcos3x)−∫e^xsin3xdx+3∫e^xcos3xdx 10∫e^x(xsin3x)dx=e^x(xsin3x)−3e^x(xcos3x)−(e^xsin3x−3∫e^xcos3xdx)+3∫e^xcos3xdx 10∫e^x(xsin3x)dx=e^x(xsin3x)−3e^x(xcos3x)−e^xsin3x+3∫e^xcos3xdx+3∫e^xcos3xdx 10∫e^x(xsin3x)dx=e^x(xsin3x)−3e^x(xcos3x)−e^xsin3x+6∫e^xcos3xdx ∫e^xcos3xdx=e^xcos3x−∫e^x(−3sin3x)dx ∫e^xcos3xdx=e^xcos3x+3∫e^xsin3xdx ∫e^xcos3xdx=e^xcos3x+3(e^xsin3x−∫e^x(3cos3x)dx) ∫e^xcos3xdx=e^xcos3x+3e^xsin3x−9∫e^xcos3xdx 10∫e^xcos3xdx=e^xcos3x+3e^xsin3x

	3
10∫ex(xsin3x)dx=ex(xsin3x)−3ex(xcos3x)−exsin3x+		(excos3x+3exsin3x)
	5

50∫e^x(xsin3x)dx=5e^x(xsin3x)−15e^x(xcos3x)−5e^xsin3x+3(e^xcos3x+3e^xsin3x) 50∫e^x(xsin3x)dx=(5x+4)e^xsin3x−(15x−3)e^xcos3x

	1		1
∫ex(xsin3x)dx=		(5x+4)exsin3x−		(15x−3)excos3x+C1
	50		50

zatem

	1		1
5∫ex(xsin3x)dx=		(5x+4)exsin3x−		(15x−3)excos3x+C
	10		10

Mariusz: y'+y=5sin3x a tam nie było tego x no to uzmiennianiem stałych będą tylko dwa całkowania przez części y'+y=5sin3x y'+y=0 y'=−y

y'
	=−1
y

dy
	=−dx
y

ln|y|=−x+C₁ |y|=e^C₁e^−x y=±e^C₁e^−x y=C₂e^−x y(x)=C(x)e^−x y'+y=5sin3x C'(x)e^−x−C(x)e^−x+C(x)e^−x=5sin3x C'(x)e^−x=5sin3x C'(x)=5e^xsin3x C(x)=5∫e^xsin3xdx ∫e^xsin3xdx=e^xsin3x−∫e^x(3cos3x)dx ∫e^xsin3xdx=e^xsin3x−3∫e^xcos3xdx ∫e^xsin3xdx=e^xsin3x−3(e^xcos3x−∫e^x(−3sin3x)dx) ∫e^xsin3xdx=e^xsin3x−3e^xcos3x−9∫e^xsin3xdx 10∫e^xsin3xdx=e^xsin3x−3e^xcos3x + C₁

	1
5∫exsin3xdx=		ex(sin3x−3cos3x)+C
	2

	1
ys=		ex(sin3x−3cos3x)e−x
	2

	1
y=Ce−x+		(sin3x−3cos3x)
	2