Zadanie rafał: W trójkącie prostokątnym o katach ostrych α iβ spełniony jest warunek sinα+sinβ=√5 przez 2 .Oblicz iloczyn cosinusów tych kątówProsze o pomoc

Basia: jeżeli to jest tr.prostokątny ⇒ β=90−α ⇒ sinβ=sin(90−α)=cosα α=90−β ⇒ sinα=sin(90−β)=cosβ

	√5
sinα+cosα=
	2

sin²α+cos²α=1

	√5
cosα=		−sinα
	2

	√5
sin2α+(		−sinα)2=1
	2

	5
sin2α+		−√5sinα+sin2α−1=0
	4

2sin²α−√5sinα+¹₄=0 t=sinα 0<t<1 (bo α jest kątem ostrym) 2t²−√5t+¹₄=0 Δ=5−4*2*¹₄ = 5−2=3

	√5−√3
t1=
	4

	√5+√3
t2=
	4

t₁ na pewno spełnia warunki zadania natomiast zapytajmy czy t₂<1 gdyby tak było to:

√5+√3
	<1
4

√5+√3<4 /² 5+2√15+3<16 2√15<8 /:2 √15<4 no i tak jest czyli oba rozwiązania są poprawne 1.

	√5−√3
sinα=
	4

	√5		√5−√3		2√5−√5+√3		√5+√3
cosα=		−		=		=
	2		4		4		4

	√5−√3
cosβ=sinα=
	4

teraz policz cosα* cosβ 2.

	√5+√3
sinα=
	4

	√5		√5+√3		2√5−√5−√3		√5−√3
cosα=		−		=		=
	2		4		4		4

	√5+√3
cosβ=sinα=
	4

teraz zapisz cosα* cosβ i zauważ, że to to samo co w podpunkcie 1.