matematykaszkolna.pl
masakra :) Olo: 𝑥𝑦𝑧=1, 𝑎= 𝑥+ 1/x , 𝑏 = 𝑦+ 1/y, 𝑎 = 𝑧 + 1/z.. Wykaż, że jeżeli 𝑎𝑏𝑐 jest liczbą całkowitą, to 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 również jest liczbą całkowitą
9 maj 12:05
franz: Dobrze przepisane?
9 maj 12:39
Olo: c = 𝑧 + 1/z.
9 maj 12:46
Szkolniak:
 1 1 
a=x+
⇒ a2=x2+
+2
 x x2 
 1 1 
b=y+
⇒ b2=y2+
+2
 y y2 
 1 1 
c=z+
⇒ c2=z2+
+2
 z z2 
Wtedy:
 1 1 1 
a2+b2+c2=x2+
+2+y2+
+2+z2+
+2=
 x2 y2 z2 
 1 1 1 
=x2+
+y2+
+z2+
+6=
 x2 y2 z2 
 1 1 1 
=(x2+
+y2+
+z2+
+2)+4=...
 x2 y2 z2 
abc∊ℤ
 1 1 1 
⇒ (x+
)(y+
)(z+
)∊ℤ
 x y z 
 1 1 1 xy xz x yz y z 
(x+
)(y+
)(z+
)=
+
+
+
+
+
+2
 x y z z y yz x xz xy 
 1 1 1 xyz xyz x2 
(x+
)(y+
)(z+
)=
+
+
+
 x y z z2 y2 xyz 
 xyz y2 z2 
+
+
+
+2
 x2 xyz xyz 
 1 1 1 1 1 x2 1 
(x+
)(y+
)(z+
)=
+
+
+
+
 x y z z2 y2 1 x2 
 y2 z2 
+
+
+2
 1 1 
 1 1 1 1 1 1 
(x+
)(y+
)(z+
)=(
+
+
+x2+y2+z2+2)∊ℤ
 x y z x2 z2 y2 
Niech:
 1 1 1 
(
+
+
+x2+y2+z2+2)=k, gdzie k∊ℤ
 x2 z2 y2 
Otrzymujemy, że:
 1 1 1 
a2+b2+c2=(x2+
+y2+
+z2+
+2)+4=k+4, gdzie (k+4)∊ℤ, cnw.
 x2 y2 z2 
Ja bym spróbował w ten sposób, może ktoś potwierdzi czy jest ok. emotka
9 maj 13:51
www: jest ok
9 maj 14:20
Olo: a jakieś prostsze rozwiązanie?
14 maj 16:45
6latek: Po co jak pewnie nawet tego nie przeanalizowales bo cie rachunki przerazily.
14 maj 17:28
ICSP: Przecież to jest proste rozwiązanie. Dosyć analogicznie:
 1 1 1 
a2 + b2 + c2 = (x +
)2 + (y +
)2 + (z +
)2 =
 x y z 
 1 1 1 
= x2 + y2 + z2 +
+
+
+ 6 =
 x2 y2 z2 
= x2 + y2 + z2 + x2y2 + x2z2 + y2z2 + x2y2z2 + 1 + 4 =
 (x2+1)(y2+1)(z2+1) 
= (x2 + 1)(y2 + 1)(z2 + 1) + 4 =
+ 4 =
 xyz 
= abc + 4 ∊ Z, jeśli abc ∊ Z
14 maj 17:45
jc: Takie drobne spostrzeżenie. Jeśli α+β+γ=0, to cos2α + cos2β + cos2γ = 1 + 2 cos α cos β cos γ
14 maj 18:08
Olo: = x2 + y2 + z2 + x2y2 + x2z2 + y2z2 + x2y2z2 + 1 + 4 − ICSP skąd wzięła się ta trzecia linijka?
15 maj 12:32
Werka: Olo przeanalizuj rozwiązanie Szkolniaka a sie dowiesz
15 maj 12:35
ICSP: z założenia: xyz = 1
15 maj 12:40
Olo: xy/z + xz/y + x/yz + yz/x + y/xz + z/xy + 2 dotąd Szkolniaka kapuję a dalej nie
15 maj 13:30
Werka: Pomnożył licznik i mianownik przez literę
15 maj 13:42
Olo: oki jestem tutaj 1/x2 +1/z2 +1/y2 + x2 + y2 + z2 + 2
15 maj 14:18
Olo: dobra ok
15 maj 14:36
Werka: No i o co chodzi to dalej analizuj
15 maj 15:00