Dowód
Matura2021: Punkty A,B,C,D są kolejnymi wierzchołkami czworokąta wpisanego w okrąg, w którym
|AB|+|AD|=|CD|+|CB|. Miara kąta BAD jest równa α. Uzasadnij, że
|AB||AD|/ |CD||CB|= 1−cosα/1+cosα
8 maj 23:48
Louie314: Ustalmy:
a=|AB|
b=|BC|
c=|CD|
d=|AD|
Wówczas:
a+d=b+c
Ponadto niech |BD|=x. Z twierdzenia cosinusów w ABD:
x
2=a
2+d
2−2ad*cosα=(a+d)
2−2ad−2ad*cosα=(a+d)
2−2ad(1+cosα)
Z twierdzenia cosinusów w BCD:
x
2=c
2+b
2+2bc*cosα=(c+b)
2−2bc+2bc*cosα=(c+b)
2−2bc(1−cosα)
Zatem:
(a+d)
2−2ad(1+cosα)=(c+b)
2−2bc(1−cosα)
Ponieważ a+d=b+c, to:
ad(1+cosα)=bc(1−cosα)
co kończy dowód.
8 maj 23:58