równanie sujal: Wyznacz wszystkie m∊N i n∊N (m,n>0) takie że wszystkie rozwiązania równania (x² − mx+n)(x² − nx+ m)=0 są liczbami naturalnymi.

kat666: (4,4), (5,6), (6,5)

sujal: Skąd to?

kat666: Skoro wszystkie rozwiązania (aż mnie zęby bolą jak piszę rozwiązania zamiast pierwiastki) są naturalne dodatnie ( założenie m,n>0 wyklucza rozwiązanie x=0 ) to istnieją takie a,b,c,d∊N₊ że: a+b=m ⋀ ab=n ⋀ c+d=n ⋀ cd=m (nb, założenie o naturalności n, m jest zbędne) 1) Zakładam że przynajmniej jedno z rozwiązań (raczej pierwiastków) to 1. Niech a=1 to 1+b=cd ⋀ b=c+d

	c2+1		2
b=		=c+1+
	c−1		c−1

powyższe równanie ma dwa rozwiązania: (c=2 ⋀ b=5 ⋀ d=3) ⋁ (c=3 ⋀ b=5 ⋀ d=2) Konkluzja: Dokładnie jedno rozwiązanie (pierwiastek) wynosi 1 gdy (m=5 ⋀ n=6) ⋁ (m=6 ⋀ n=5) Pierwotne równanie nie może mieć dwóch lub więcej rozwiązań (%&! szlag) równych 1. 2) a,b,c,d∊N\{0,1} Dla dowolnych a,b z założenia zachodzi a+b≤ab , przy czym równość wystąpi tylko dla a=b=2. Skoro a+b≤ab ⋀ c+d≤cd to m≤n ⋀ n≤m więc jedynym rozwiązaniem jest m=n=4 dla a=b=c=d=2.