nierówność Patka: Dla jakich x∊R prawdziwa jest nierówność |√x²+2x+5−√x²−4x+8|<3

ICSP: |√x² + 2x + 5 − √x² − 4x + 8| =

	x2 + 2x + 5 − x2 + 4x − 8
= |		| =
	√x2 + 2x +5 + √x2 − 4x + 8

	3(2x − 1)
= |		| =
	√x2 + 2x + 5 + √x2 − 4x + 8

	|x + 1 + x − 2|
= |3|		≤
	√x2 + 2x + 5 + √x2 − 4x + 8

	√(x+1)2 + √(x−2)2
≤ |3|		< 3
	√x2 + 2x + 5 + √x2 − 4x + 8

Dla wszystkich.

Patka: A skąd ta ostatnia nierówność?

Patka: Czy chodzi o to ze licznik jest większy od mianownika?

ICSP: Monotoniczność funkcji f(x) = √x (x+1)² < (x+1)² + 4 ⇒ √(x+1)² < √x² + 2x + 5 Tak samo dla drugiego członu.

Szkolniak: Na początku dziedzina związana z pierwiastkiem: x∊R x²+2x+5>0 dla x∊R oraz x²−4x+8>0 dla x∊R Po obu stronach występują wyrażenia nieujemne, zatem obie strony nierówności podnosimy do kwadratu: (√x²+2x+5−√x²−4x+8)²<3² x²+2x+5−2√(x²+2x+5)(x²−4x+8)+x²−4x+8<9 2−√(x²+2x+5)(x²−4x+8)+x²−x<0 x²−x+2<√(x²+2x+5)(x²−4x+8) Trójmian kwadratowy y=x²−x+2 przyjmuje jedynie wartości dodatnie, podnosimy ponownie do kwadratu: (x²−x+2)²<(x²+2x+5)(x²−4x+8) x⁴−2x³+5x²−4x+4<x⁴−2x³+5x²−4x+40 4<40 zdanie prawdziwe, zatem nierówność jest spełniona dla x∊R.

Filip: Prosze pana... mozna tak zrobic pod warunkiem napisania o przeksztalceniach rownowaznych. Pozdrawiam

chichi: A co @Filip Czarnek tak powiedział?