Splot funkcji KOnrad: Witajcie, mam za zadanie obliczyć splot funkcji. Jest to temat dla mnie nowy dlatego proszę o pomoc i wytłumaczenie problemu. Mam dwie funkcje: f(x)=r₁ * e^{−r₁ *x} oraz g(x)=r₂ * e^{−r₂ *x} dla x należących do R+ Zacząłem tak: (T to u mnie miało być tau) f(x)*g(x)= ∫ f(T) * g(t−T) dT= ∫ r₁ * e^{−r₁ *T} * r₂ * e^{−r₂ *(t−T)} dT I niestety dalej już nie wiem co powinienem napisać ani jak to obliczyć. Proszę o pomoc

Adamm: (f*g)(x) = ∫₀^t f(T)g(t−T) dT = r₁r₂e^−r₂t ∫₀^t e^{(r₂−r₁)T} dT

jc: f(x)=a e^−ax, g(x)=b e^−bx (f*g)(x) = ∫₀^x f(t) g(x−t) dt = ab ∫₀^x e^{− at − b(x−t)} dt

	ab		ab
=		[e− at − b(x−t)]t=0t=x =		(e−ax − e−bx)
	b−a		b−a

KOnrad: Czyli mam obliczyć tylko całkę ∫₀ ^t e^{(r₂−r₁)T} dT? To wyjdzie coś takiego? ..... = u{e⁽(r₂−r₁)*T){r₂−r₁} ? I co dalej?

KOnrad: @Adamm: podstawić tylko granicę czy jak?

jc: Tak. Całka = różnica funkcji pierwotnych.

Adamm: Tak, podstawić tylko granicę Ale jest haczyk, dla r₁ = r₂ rozwiązanie jest inne

Adamm: Jeśli potrafisz liczyć granice, to przypadek r₁ = r₂ możesz traktować jako wersję graniczną

KOnrad: Kurcze to dałeś mi zagwostkę... Nie wiem czy sobie z tym dam radę

jc: Inne, ale granica daje to samo. Warto jednak sprawdzić.

KOnrad: Pomożecie z tym? Nie bardzo wiem jak to rozpisać tak jak to piszecie

jc: Pozwól jednak, że zamiast r₁ i r₂ będę pisał a, b. Indeksy mnie rozpraszają. Jeśli a=b, to masz całkę (f*f)(x) = a² ∫₀^x e^−at e^−a(x−t) dt = ∫a² e^−ax ∫₀^x 1 dx = a² x e^−ax Zobaczmy teraz, jaka jest granica b→a.

	e−ax − e{−bx}
ab		→a2 x e−ax, Hospital
	b−a

KOnrad: Okej dziękuję. Zatem czy wynik będzie równy (−1/a) ? Czy też nieskończoność?

jc: Dla a≠b masz

	e−ax − e−bx
(f*g)(x)=ab
	b−a

Dla a=b masz (f*f)(x)= a² x e^−ax

KOnrad: Okej dziękuję za pomoc