algebra
Kasia: Podać przykład wielomianu który ma więcej pierwiastków niż podaje jego stopień
6 maj 21:45
Adamm: Wielomian x2+1 w kwaternionach
6 maj 21:47
Adamm:
Też może być tak.
Weź dowolną grupę abelową G, i zdefiniuj xy = 0 dla dowolnych x, y.
Wtedy x2 = 0 ma |G| rozwiązań.
Jeśli zakładamy że pierścienie mają jedynkę, to weź 1x = x, xy = 0 w przeciwnym wypadku.
Sama policz ile x2 = 0 ma wtedy rozwiązań.
6 maj 21:51
Kasia: x2+1 w kwaternionach ma 3 pierwiastki tak?
6 maj 22:23
Adamm: Nie, nieskończenie wiele.
6 maj 22:26
Adamm:
(xi+yj+zk)2 = −x2−y2−z2 dla x, y, z∊R.
Zatem dla każdego (x, y, z) należącego do sfery w R3 mamy pierwiastek.
Co więcej jeśli oznaczyć u = xi+yj+zk, to
(t+u)2 = t2+2tu+u2 = 0 ⇒ t = 0 lub u = 0 (gdzie t∊R) ponieważ t2, u2∊R
Zatem to jedyne pierwiastki.
6 maj 22:34
Adamm: przepraszam, (t+u)2 = ... = −1
6 maj 22:35