Zadania z prawdopodobieństwa ze studiów Damian#UDM: Prawdopodobieństwo studia 1. (0 − 3) Rzucamy 100 razy symetryczną monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że a) orzeł wypadł dokładnie 53 razy, b) uzyskaliśmy co najmniej 47, ale nie więcej niż 56 orłów. 2. (0 − 3) Dany jest rozkład zmiennej losowej skokowej X w postaci tabelki: 01666=¹₆ 03333=¹₃ a) Wyznaczyć analitycznie dystrybuantę i sporządzić jej wykres, b) Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X. 3. (0 − 5) Zmienna losowa X ma rozkład ciągły, dla którego dystrybuantą jest:

	⎧	0 dla x<1
F(x)=	⎨	x−1 dla 1≤x≤2
	⎩	1 dla x>2

a) Sporządzić wykres dystrybuanty. Wyznaczyć gęstość i sporządzić jej wykres. b) Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X. 4. (0 − 3) Wzrost mieszkańców Liliputlandii jest zmienną losową posiadającą rozkład normalny o parametrach μ=40 i σ=10 [w cm]. a) Obliczyć jaką część mieszkańców ma wzrost mieszczący się w przedziale od 35 do 42 cm. b) Wybrano losowo 25 mieszkańców. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w sumie mają więcej niż 960 cm? Proszę o pomoc, wskazówki i rozwiązania, chciałbym to ogarnąć

getin: Zad. 1

	100 53
a) P =
	2100

b)

	A
P =		gdzie
	Ω

	100 47		100 48		100 49		100 50		100 51		100 52
A =		+		+		+		+		+

	100 53		100 54		100 55		100 56
+		+		+		+

Ω = 2¹⁰⁰

Mila: https://www.youtube.com/results?search_query=rozk%C5%82ad+zmiennej+losowej

Damian#UDM: 1. (0 − 5) Zmienna losowa ma rozkład ciągły, dla którego funkcją gęstości jest:

	⎧	18x dla x∊<0,4>
f(x)=	⎩	0 dla pozostałych.

a) Sporządzić wykres gęstości. Wyznaczyć dystrybuantę i sporządzić jej wykres. b) Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję. 2. (0 − 4) Wzrost mieszkańców Liliputlandii jest zmienną losową posiadającą rozkład normalny o parametrach μ=40 i σ=10 [w cm]. Obliczyć, a) jaka część mieszkańców ma wzrost większy niż 45 cm, b) jaka część mieszkańców ma wzrost mieszczący się w przedziale od 35 do 42 cm. Proszę o pomoc, rozwiązania

Mila: 1) Wykres gęstości: 2) Dystrybuanta: a)x<0 F(x)=_−∞∫^xf(t)dt=_−∞∫⁰ 0dt=0 b) x∊<0,4>

	1
F(x)=−∞∫xf(t)dt=−∞∫0 0dt+0∫x		t dt+4∫∞0dt=
	8

	1		1
=[		t2]0x=		x2 ( wynikiem ma być funkcja)
	16		16

c)x>4 Uwzględniamy wszystkie przedziały ( skumulowane szanse)

	1
F(x)=−∞∫xf(t)dt=−∞∫0 0dt+0∫4		t dt+4∫∞0dt=
	8

	1		1
=[		2]04=		*42−0=1
	16t		16

wykres w następnym wpisie.

Mila: Różowy wykres. 3) Wartość oczekiwana:

	1
E(X)=−∞∫∞x*f(x) dx=0+0∫4		x2 dx+0=
	8

	x3		8
=[		]04=
	24		3

4) Wariancja : D²(X)=E(X²)−(E(X))²

	1		x3		x4
E(X2)=0∫4(x2*		x) dx=0∫4		dx=[		]04=
	8		8		32

	44		256
=		=		=8
	32		32

	8		64		8
D(X)=8−(		)2=8−		=
	3		9		9

Mila: Zadanie 2 https://www.youtube.com/watch?v=jN4okdhKkpY

Mila: I co, policzyłeś?

Mila: Rozkład normalny o parametrach μ=40 i σ=10 [w cm]. Obliczyć, a) jaka część mieszkańców ma wzrost większy niż 45 cm, b) jaka część mieszkańców ma wzrost mieszczący się w przedziale od 35 do 42 cm. X− wzrost mieszkańca L... Standaryzujemy zmienną X, wartości dystrybuanty odczytujemy z tablic.

	X−40
Z=		∼N(0,1)
	10

	X−40		45−40
P(X>45)=P(		>		)=P(Z>0.5)=
	10		10

=1−P(Z<0.5)= odczytujesz z tablic =1−0.6915=0.3085 około 0.3 całej populacji ma wzrost większy niż 45 cm b) 35<X<42

	35−40		X−40		42−40
P(35<X<42)=P(		<		<		)=
	10		10		10

=P(−0.5<Z<0.2)=P(Z<0.2)−P(Z<−0.5)= =P(Z<0.2)−P(Z>0.5)= =P(Z<0.2)−(1−P(Z<0.5))=.. dokończ

figa: Nie ma odzewu od wczoraj ...

Mila: 20:49 ostatnia linijka powinna być taka:

	8		8
D2(X)=8−(		)2=
	3		9

ite: Damian#UDM miał poprawiać maturę rozszerzoną, więc pewnie chce trochę odetchnąć.

Mila: Dobry wieczór ite. Skoro jesteś, to może sprawdzisz moje rozwiązanie? Trochę mi ta wiedza zardzewiała, nie chciałabym zamącić w głowie Damianowi

Damian#UDM: Hej! Bardzo dziękuję Milu za rozwiązania oraz reszcie za odzew ! Na szczęście to zadanie z dystrybuantą oraz gęstością udało mi się rozwiązać z filmikiem z youtube, dziękuję bardzo za okazaną mi pomoc Tak, poprawiałem maturę i niestety nie poprawiłem Będzie wynik w przedziale 88 − 92 % . Poległem na zadaniu z dowodem geometrycznym, zrobiłem błąd w rachunkach i dalej już nic nie mogłem znaleźć. W 14. (0 − 6) nie wyznaczyłem dokładnego przedziału dla trójkąta ostrokątnego, rozpatrzyłem tylko warunek a² + b² > c² oraz w 15. (0 − 7) na pewno znów poleci mi punkt za dziedzinę, ponieważ zapisałem tylko, że a∊(0,9) oraz c∊(0,9), gdzie a − długości krawędzi podstawy prostopadłościanu oraz c − wysokość prostopadłościanu. No i najgorsze, w zadaniu 2. (0 − 1) zaznaczyłem złą odpowiedź. Niestety. Arkusz możecie znaleźć pod linkiem: https://static2.cke.gov.pl/images/_EGZAMIN_MATURALNY_OD_2015/Arkusze_egzaminacyjne/2021/Matematyka/poziom_rozszerzony/EMAP-R0-100-2105.pdf

Damian#UDM: Mila wszystkie wartości oraz wykresy w tym zadaniu wyszły mi takie same dziękuje za zapisanie tutaj rozwiązań

chichi: Przy 9 i tak powinno być domknięcie, więc nawet jakbyś ograniczył od 4 do 9, to punktu by nie było

Damian#UDM: Wiem o tym

Damian#UDM: Szkoda, że dopiero po maturze

Mila:

Damian#UDM: zadanie 7. Zmienna losowa X ma rozkład ciągły, dla którego dystrybuantą jest:

	⎧	0 dla x<0
f(x)=	⎨	19x2 dla 0≤x≤3
	⎩	1 dla x>3

a) Sporządzić wykres dystrybuanty. Wyznaczyć gęstość i sporządzić jej wykres. b) Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X. A jak postąpić w takim przypadku? Liczyć pochodne każdej funkcji na każdym przedziale i wystarczy? Czy jednak szukać najmniejszej wartości w podanym przedziale za pomocą pochodnej? Proszę o pomoc

ICSP: Po co chcesz szukać najmniejszej wartości?

Damian#UDM: No bo jak mam funkcję gęstości to wtedy, żeby obliczyć dystrybuantę to liczę całkę ∫^x_−∞, oczywiście dalej w zależności jakie mam przedział i dlatego myślałem, że w drugą stronę będzie podobnie. Proszę po prostu o rozjaśnienie jak to się poprawnie powinno robić i wszystko będzie ok

ICSP: Masz podaną dystrybuantę i chcesz wyznaczyć funkcję gęstości. (nie na odwrót) Rozkład jest ciągły, więc możesz to zrobić. Różniczkujesz dystrybuantę przedziałami i w ten sposób otrzymasz funkcję gęstości. Tutaj nie ma nic związanego z szukaniem najmniejszej wartości w podanym przedziale. Dlatego powtórzę pytanie: Dlaczego chcesz szukać najmniejszej wartości? Co ci to da?

Damian#UDM: Po prostu szukam schematu na to zadanie i rzuciłem luźny pomysł podobny do liczenia dystrybuanty gdy mam podaną gęstość

Damian#UDM: zadanie 7.

	⎧	0 dla x<0
f(x)=	⎨	19x2 dla 0≤x3
	⎩	1 dla x>3

1. dla x<0 f(x)=0 f'(x)=0 2. dla 0≤x≤3 f(x)=¹₉x² f'(x)=²₉x 3. dla x>3 f(x)=1 f'(x)=0 Funkcja funkcja gęstości

	⎧	0 dla x<0
F(x)=	⎨	29x dla 0≤x3
	⎩	0 dla x>3

Jest ok ?

ICSP: Masz podaną dystrybuantę (oznaczyłeś ją małą literą f jak to w zwyczaju oznacza się gęstość − to może być powodem twojego zmieszania) i masz obliczyć gęstość (12:28 − pierwsza linijka) Następnie chcesz obliczyć dystrybuantę mając funkcję gęstości (14:05 , 22:07) Mam wrażenie, że trochę się pogubiłeś w tym co masz zrobić. Masz daną dystrybuantę:

	⎧	0 dla x < 0
F(x) =	⎨	x2/9 dla 0 ≤ x ≤ 3
	⎩	1 dla x > 3

ponieważ jest ona ciągła to aby wyznaczyć gęstość różniczkujesz ją przedziałami (akurat w tym przykładzie będzie różniczkowalna, wiec możesz tak zrobić).

ICSP: Obliczenia poprawne Oznaczenia nie. F(x) − dystrybuanta f(x) − funkcja gęstości

Damian#UDM: To prawda, pomyliłem te znaki. Dziękuje za pomoc

Mila: 1) Dystrybuanta : wykres narysuj sam (0 dla x<0

	1
F(x)={		x2 dla 0≤x≤3
	9

(1 dla x>3 2) f(x)− funkcja gęstości (0 dla x<0

	2
f(x)={		x dla 0≤x≤3
	9

( 0 dla x>3 (na rysunku) 3)Wartość oczekiwana:

	2
E(X)=−∞∫∞(x*f(x)) dx=0+0∫3(		x2) dx+0=
	9

	2		2
=[		x3]03=		*33=2
	27		27

4) Wariancja D²(X)=E(X²)−(E(X))²

	2		2
E(X2)=−∞∫∞(x2*f(x)) dx=0∫3(		x3) dx=[		x4]03= ... licz dalej sam
	9		36

Damian#UDM: A wariancję i wartość oczekiwaną nadal liczę z dystrybuanty?

Damian#UDM: czyli liczę z gęstości, Dziękuję

Damian#UDM: No musiałem się po prostu pomylić. Dziękuję wam.