. xyz: Mam takie równanie y''+y=sinx+cos2x, robię to metodą przewidywań: r²+1=0 r=+−2i y jednorodne= C1cos2x+C2sin2x y przewidywane=Asinx+Bcos2x I trzeba policzyć pochodne pierwszego i drugiego rzędu i wstawić do wyjściowego równania i wyznaczyć A i B?

piotr: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/tiki-index.php?page=Rozwi%C4%85zywanie+r%C3%B3wna%C5%84+r%C3%B3%C5%BCniczkowych+liniowych+niejednorodnych+wy%C5%BCszych+rz%C4%99d%C3%B3w+o+sta%C5%82ych+wsp%C3%B3%C5%82czynnikach+metod%C4%85+przewidywa%C5%84

piotr: r=±i

HGH: tak tak trzeba zrobic.

piotr: Przewidujesz oddzielnie dla obu funkcji i suma: y_p1=a₁ (cos(2 x))+a₂ (sin(2 x)) y_p2=x (a₃ cosx+a₄ sinx) ← mnożenie przez x^k, k=1 jest krotnością pierwiastka rów. char. y_p = y_p1+y_p2

piotr: po policzeniu drugiej pochodnej y_p i wstawieniu do danego równania otrzymamy:

	1
a1=−
	2

	1
a2=−
	3

a₃=0 a₄=0

xyz: Faktycznie +−i ale ja mam w notatkach zapisane, że mogę rozbić na tylko jedno y_p y_p=Asinx+Bcos2x I mam pytanie czy nie trzeba tutaj obniżać stopnia wielomiany z racji tego, że Asinx pokrywa się z C₂sinx

Jan: Tutaj jest wynik https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27%2By%3Dsinx%2Bcos2x Pytanie mam gdzie robię błąd: y_j=C₁cosx+C₂sinx to jest dobrze y_p=Asinx+Bcos2x i tutaj Asinx jakby zawiera sie w y_j i trzeba zwiększyć stopień wielomianu zatem to powinno wyglądać: y_p=(Ax+B)sinx+Ccos2x Ale licząc pochodne i wstawiając do wyjściowego równania nie wychodzi mi. Pomoże ktoś zrobić to tym sposobem co ja.

Jan:

Jan: ?

kat666: y''+y=sinx+cos2x y_o=C₁sin x +C₂ cos x y_p=x(Asin x+Bcosx) +Csin2x+Dcos2x

Jan: Wytłumaczyłby mi ktoś skąd się wziął taki zapis y_p?

kat666: Skoro w fragmencie niejednorodnym jest sin x to przewiduję Asin x+Bcosx. Jednak analogiczne rozwiązanie już mam z równania jednorodnego więc przewidywanie wzmacniam do x(Asin x+Bcosx). cos 2x w niejednorodności wymusza przewidywanie Csin2x+Dcos2x. Warto czytać ze zrozumieniem, gdyż kilka godzin temu to samo pisał piotr.