Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć podane całki podwójne Aisser: Wprowadzając współrzędne biegunowe policzyć podane całki podwójne Witam mam problem z wyliczeniem tej oto całki: ∬xdxdy, gdzie obszar D jest ograniczony krzywymi: x²+(y−1)²=1, y=x, (x≥y). W odpowiedziach wynik jest 1/6 Z góry dziękuję za pomoc

Filip: x² + (y − 1)² <= 1; x² + y² <= 2y; r² <= 2rsinφ; r <= 2sinφ; Obszar D prezentuje się następująco:

	π
0 <= φ <=		;
	4

0 <= r <= 2sinφ; Liczysz taką całkę: ∫₀^pi/4(∫₀^2sinxr²cosx dr) dx

Filip: i zauważ, że wynik to będzie 0.17 (zaokrąglając do dwóch cyfr znaczących);

Filip: tam w całce zamiast x powinno być φ;

Aisser: Dzięki wielkie, sam bym w życiu nie wpadł na to, jeszcze mam jedno pytanie wiadomo, że x²+(y−1)²<=1, ponieważ badamy obszar wewnątrz okregu? Czy z czegoś innego się to bierze?

jc: x=r cos β y=r sin β x²+y²≤2y r ≤ 2 sin β 0 ≤ β ≤ π/4

	r3
∫0π/4 dβ ∫02 sin β r cos β r dr = ∫0π/4 [		]02 sin β cos β dβ
	3

	8		2		1
=		∫0π/4 sin3β cos β dβ =		[sin4β} ]0π/4=
	3		3		6

jc: Aisser To niechlujstwo autora zadania. Obszar powinien być określony nierównościami: x² + (y−1)² ≤ 1 x ≥ y

Aisser: Dzięki, właśnie coś mi nie pasowało z tym przykładem