Ciągi Edward: Witam. Tym razem do sprawdzianu mam kilka zadań. Proszę o pomoc. 1. (7.145. Trzy liczby, ktorych suma wynosi 9 tworza ciag arytmetyczny. Jesli do pierwszej z

	1
nich dodamy 3		, a dwoch pozostalych ni zmienimy to otrzymamy ciag geometryczny. Znajdz
	8

te liczby. Będę tutaj sukcesywnie dodawać kolejne zadania ktorych nie bede potrafil zrobic. Prosze o pomoc.

Edward: Zadanie kolejne: Pierwszy wyraz Ciagu arytmetycznego i pierwszy wyraz ciagu geometrycznego rowna sie 8. Dugie wyrazy tych ciagow tez sa rowne. Jakie moga byc te ciagi, jesli trzeci wyraz ciagu

	25
geometrycznego stanowi		trzeciego wyrazu ciagu arytmetycznego?
	16

edi: 1. Wiadomo, że: a₁ + a₁ + r + a₁ + 2r = 9 stąd: 3a₁ + 3r = 9 czyli a₁ + r = 3 czyli a₂ = 3 Skoro drugi wyraz ciągu arytmetycznego równy jest drugiemu wyrazowi ciągu geometrycznego oraz trzeci arytmetycznego równa się trzeciemu geometrycznego, możemy ułożyć następujący układ równań: a₁ + r = 3

	25
a1 + r = (a1 +		)q
	8

	25
a1 + 2r = (a1 +		)q2
	8

Wynik:

	7
a1 = 2 ∨ a1 = 4
	8

edi: przepraszam, wkradł się błąd: Wynik:

	7
a1 = 2 ∨ a1 = −4
	8

edi: 2. a₁ + r = a₁q

	25
(a1 + 2r)		= a1q2
	16

gdzie a₁ jest znane; a₁ = 8

Edward: Zauwazylem ze wstawiacie "r". Co to jest? Dlaczego ono się tam znajduje?

edi: r jest to różnica ciągu arytmetycznego, inaczej mówiąc: a₃ − a₂ = a₂ − a₁ = r

Edward: aha. OK. Dzięki Jeszcze takie zadanie z tego dzialu: Trzy rozne liczby a,b,c tworza ciag arytmetyczny, natomiast liczby a,d,c − ciag geometryczny. Wyrazy obu ciagow sa dodatnie. Suma wyrazow ktorego ciagu jest wieksza? Prosze o pomoc. Nie nawidze zadan na udowadnianie twierdzen

Edward: pomoze ktos?

Edward: odświeżam

Edward: Pomoze ktos? Nie wiem co dalej robic..

edi: Wiemy, że a₁ + 2r = a₁q², czyli:

	2r
a1 =
	q2−1

Pomiędzy obiema stronami nierówności nie piszemy na razie żadnego znaku, gdyż nie wiemy która strona jest większa 3(a₁ + r) a₁(q² + q + 1)

3r(q2 + 1)		2r(q2 + q + 1)
q2 −1		q2−1

3r(q2 + 1) − 2r(q2 + q + 1)
	0
q2 − 1

3rq2 + 3r − 2rq2 − 2rq − 2r
	0
(q−1)(q+1)

rq2 − 2rq + 1
	0
(q−1)(q+1)

r(q−1)2
	0
(q−1)(q+1)

r(q−1)
	0
(q+1)

Teraz widać już, że lewa strona jest zawsze większa lub równa zero, więc suma ciągu arytmetycznego jest większa lub równa zero Dla q ∊ (−∞ ; 0> liczby tworzące ciąg geometryczny nie byłyby dodatnie, więc odpada Dla q ∊ (0; 1) ciąg byłby malejący, więc r ciągu arytmetycznego musiałaby być ujemna − licznik dodatni Dla q ∊ {1} − sumy są równe Dla q ∊ (1;∞) − widać, że ułamek jest dodatni

Edward: Ale dlaczego Ty wogole nie robisz tego na tych literach a,b,c i a,d,c tylko na r, q..?

Edward: Czemu Ty liczczysz na tych q i r? Nie da sie na a,b,c?

Adaś: odsiwezam

Adaś: bo to zadanie tez mi sie podoba pomoze ktos edwardowi? Ja tez skorzystam

edi: No jeżeli nie podoba się Wam rozwiązanie na q i r to zawsze możecie próbować robić na a,b,c. Życzę powodzenia