Nierówność Szkolniak: Dla jakich wartości parametru k nierówność (x²+2)(x²−k)+2k+1>0 jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą. Witam − mam pewien problem z tym zadaniem i nie za bardzo sobie potrafię wyobrazić jak to będzie wyglądać.. Moje rozwiązanie: (x²+2)(x²−k)+2k+1=x⁴−kx²+2x²−2k+2k+1=x⁴+(2−k)x²+1 x⁴+(2−k)x²+1>0 Jedyne co, to robię podstawienie, że p=x² i p≥0, a wtedy: p²+(2−k)p+1>0, a to jest spełnione wtedy gdy Δ0, ale jak odnieść się do warunku że p≥? Byłby ktoś w stanie to wytłumaczyć? Bo znalazłem podobne zadanie na zadania.info, ale niestety nie za bardzo tam rozumiem o co chodzi

ICSP: 1^o Δ < 0 Ten przypadek mam nadzieje, że rozważyłeś 2^o Δ = 0 Tutaj wyjdzie skończona liczba parametrów k, więc możesz sprawdzić je ręcznie. 3^o Δ > 0 to znaczy, że istnieją p₁ , p₂. Zapiszmy nierówność w postaci iloczynowej: (x² − p₁)(x² − p₂) > 0 Chcemy aby była spełniona dla każdej liczby rzeczywistej. Zatem: p₁ i p₂ muszą być liczbami ujemnymi (równoważnie: p₁ + p₂ < 0 ∧ p₁p₂ > 0 )

Szkolniak: Tak tak, pierwszy przypadek rozważyłem − ucięło mi tam znak mniejszości między deltą i zerem Nasza delta równa jest k²−4k. 1^o Δ<0 ⇔ k∊(0;4) 2^o Δ=0 ⇔ k∊{0,4} 2.1 k=0 ⇒ 1>0, zdanie prawdziwe 2.2 k=4 ⇒ p²−2p+1>0 ⇔ (p−1)²>0 I tutaj już się pojawia problem, co jeśli p=1? Wtedy 0>0, a to zdanie fałszywe?

ICSP: k = 4. Podstawiasz do swojej nierówności: (x² + 2)(x² − 4) + 9 > 0 x⁴ − 2x² + 1 > 0 (x² − 1)² > 0 spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą, czy potrafisz podać przykład liczby która tej nierówności nie spełnia?

Szkolniak: A co z −1 i 1?

ICSP: Te liczby są właśnie kontrprzykładami. Wykonujesz teraz szybkie wnioskowanie logiczne: Dla k = 4 dostaje nierówność (x² − 1)² > 0 która nie jest spełniona przez np x = 1 więc nierówność nie jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej. zatem k = 4 nie spełnia warunków zadania.

Szkolniak: Dobra rozumiem, czyli poza rozumowaniem w tej drugiej części, muszę jeszcze dokonać rozumowania na tym swoim pierwotnym przykładzie.. Ale co do 3 przypadku już chyba nie ma takiej sytuacji, bo jakby od razu zapisuję daną nierówność w postaci iloczynowej, prawda? Dosyć ciężko mi po prostu jakoś manewrować między tymi dwoma nierównościami i z podstawieniem

Szkolniak: A jeśli chodzi o te podstawienie, że p=x² i p≥0, nie trzeba tego ograniczenia co do p konfrontować w żadnym z przypadków? W jakim celu jest takie założenie − czy jest tu po prostu niepotrzebne?

Louie314: Możesz sobie to zwizualizować tak, że miałeś funkcję x⁴+(2−k)x²+1>0 dla każdego rzeczywistego x. Po podstawieniu p=x², gdzie p≥0 uzyskasz funkcję zmiennej p: f(p)=p²+(2−k)p+1 określoną dla p≥0. Zatem możesz wyobrazić sobie parabolę (całą), ale będzie interesowała Cię tylko ta część, która jest po prawej stronie osi OY. Aby warunki zadania były spełnione, to właśnie ta część musi być ponad osią (ponieważ nieważne co wstawiłbyś za x, to dostaniesz p≥0). Teraz można zrobić tak: 1) gdy Δ<0 to k ∊ (0,4), ponieważ wtedy cała parabola (a w szczególności część po prawej stronie od osi OY) leży nad osią, czyli nie przyjmuje wartości ujemnych, 2) Δ=0 ⇔ k(k−4)=0 k=0 lub k=4 Łatwo sprawdzić, że k=0 spełnia warunki zadania, a k=4 nie spełnia. 3) Δ>0, to parabola przecina oś poziomą w dokładnie dwóch punktach. Nam zależy na tym, aby te punkty były po lewej stronie osi pionowej i żeby jednocześnie f(0)>0 (bo wtedy dla p≥0 funkcja przyjmuje wartości dodatnie). Wierzchołek:

	k−2
p0=		<0 i f(0)=1>0
	2

k−2<0 k<2 Sumując warunki: k ∊ (−∞, 4)

Klara: i to jest poprawne rozumowanie

Szkolniak: Dzięki piękne Louie314 − to do mnie przemówiło i już w końcu wszystko rozumiem ICSP również dziękuje Na zadania.info jest dosyć podobne zadanie, ale jakoś przeskoczyli tam pewne rozumowanie i nie potrafiłem wywnioskować skąd wzięła się pewna rzecz, stąd moje pytania, bo już się gubiłem mając podstawienie i jeszcze drugą nierówność Jeszcze raz dzięki wielkie!