Mariusz:
Najpierw rozwiązujesz równanie jednorodne
Próbujesz rozwiązanie
y=e
λx
λ
2e
λx+e
λx=0
(λ
2+1)e
λx=0
λ
2+1=0
λ=±i
y
1=e
ix
y
2=e
−ix
y
1=cos(x)+isin(x)
y
2=cos(x)−isin(x)
y
1+y
2=2cos(x)
y
1−y
2=2isin(x)
Jako że kombinacja liniowa rozwiązań szczególnych równania też jest rozwiązaniem szczególnym
to za rozwiązania szczególne możesz przyjąć
y
1=cos(x) oraz y
2=sin(x)
Funkcje y
1=cos(x) oraz y
2=sin(x) tworzą układ fundamentalny równania
Całka ogólna równania jednorodnego to
y = C
1cos(x)+C
2(x)sin(x)
Zakładasz że całka szczególna równania niejednorodnego jest postaci
y
s=C
1(x)y
1(x)+C
2(x)y
2(x)
czyli dla twojego równania będzie to
y
s=C
1(x)cos(x)+C
2(x)sin(x)
Aby znaleźć C
1(x) oraz C
2(x)
rozwiązujesz następujący układ równań
C
1'(x)y
1(x)+C
2'(x)y
2(x)=0
C
1'(x)y
1'(x)+C
2'(x)y
2'(x)=f(x)
Dla twojego równania będzie to
C
1'(x)cos(x)+C
2'(x)sin(x)=0
| | 1 | |
−C1'(x)sin(x)+C2'(x)cos(x)=− |
| |
| | cos3(x) | |
Rozwiązanie powyższego układu całkujesz przy czym stałe całkowania możesz tutaj zaniedbać
Całką ogólną równania niejednorodnego będzie suma całki ogólnej równania jednorodnego
oraz całki szczególnej równania niejednorodnego