Całki potrójne Damian#UDM: Całki potrójne Zadanie 4. Obliczyć środek ciężkości bryły ograniczonej powierzchniami z = x² + y² oraz z = 1, której gęstość w każdym punkcie jest równa jego odległości od osi O_z. Zadanie 5. Wykorzystując całkę potrójną obliczyć masę obszaru 1≤x²+y²+z²≤4 dla z≥0 o gęstości równej 3.

jc: (4) Masa = ∫∫∫ √x²+y² dx dy dz Licznik = ∫∫∫ z √x²+y²+z² dx dy dz Może dobrze byłoby przejść do współrzędnych walcowych? x= r cos β, y = r sin β, jakobian = r

	z3/2		4π
Masa = ∫02π dβ ∫01 dz ∫0√z r rdr= 2π ∫01		dz =
	3		3*5

	4π
Licznik =		, zśm =Licznik / Masa = 5/7
	3*7

jc: (5) 3*(4/3 π)(2³−1)= 28 π

Damian#UDM: W zadaniu 5. obszar ograniczony to kula z pewnym obszarem pustym od środka? jc proszę o rozwiązanie zadania 5. Chciałbym to ogarnąć.

Damian#UDM: Jeśli ktoś umie mi pomóc to proszę o pomoc Pozdrawiam

Saizou :

	masa [kg]
gęstość =
	objętość [m3]

	4
Objętość obliczysz całką, albo cwaniej ze wzoru na objętość kuli V =		πR3.
	3

Nierówność: 1 ≤ x²+y²+z² ≤ 4 opisuje kulę o promieniu 2 z wyciętą w środku kulą o promieniu 1. Warunek z ≥ 0 wskazuje na to, że bierzmy tylko połowę figury.

	1		4		14
V =		*		π(23−13) =		π
	2		3		3

Z gęstości mamy

	14
m = ρ•V = 3•		π = 14π
	3

Damian#UDM: Chciałbym mieć takie mózgi jak wy

Damian#UDM: Potrzebowałbym jeszcze rozwiązanie za pomocą całki potrójnej. Masa obszaru B: M=∫∫∫f(x,y,z)dxdydz Nie wiem skąd wziąć funkcje podcałkową. Współrzędne sferyczne: x=psinβcosα , y=psinβsinα , z=pcosβ 1≤p≤2 0≤β≤^π₂ 0≤α≤2π

Saizou : Z jakobianu przekształcenia

Damian#UDM: Czyli po prostu u mnie to będzie p ?

Damian#UDM: Dobra, chyba wiem, to będzie p²*sinβ

Damian#UDM: Obliczyć całkę ∫_S∫(x+y+z)dS gdzie S jest obszar ograniczony nierównościami: x²+y²+z²≤4 , z≥0 Obszar to półkula o promieniu 2 znajdująca się w nieujemnej części osi Oz. (α,β,p))

⎧	0≤p≤2
⎨	0≤α≤2π
⎩	0≤β≤π

Współrzędne sferyczne ∫∫∫f(α,β,p)dαdβdp=∫∫∫(sin²(β)*cos)α)+sin²(β)*sin(α)+sin(β)*cos(β))p³dpdαdβ Po obliczeniu otrzymałem 0. Czy jest ok?

jc: Całka z (x+y) da zero. Trzeci składnik = (3/8)*2*(4/3)π2³=8π

Damian#UDM: Czyli coś mam źle. Podeślę później rozwiązanie.

Damian#UDM: Zadanie 7. Wyznacz objętość bryły ograniczonej powierzchniami z=x²+y²−3 oraz z=√3−x²−y² Próbowałem to zrobić całką podwójną lecz chyba źle. Myślę, że trzeba tutaj użyć współrzędnych sferycznych. Co wiem 3−x²−y²≥0 x²+y²≤3 Czyli mam okrąg o środku w punkcie S(0,0) i promieniu r=√3. z=√3−x²−y² |² z²=3−x²−y² x²+y²+z²=3 Czyli mam kulę o środku w punkcie S₁(0,0,0) i promieniu R=√3. z=x²+y²−3 a co z tym? To jest jakaś parabolida? Co dalej trzeba zrobić? Próbowałem ten obszar narysować i wyszła mi półkula dla z≤0 a u góry parabolida. z=x²+y²−3 x²+y²=z+3 Jeśli x²+y²≤3 To z+3≤3 Czyli z≤0 Czy coś zrobiłem źle?

Damian#UDM: ∫_D∫[f(x,y)−g(x,y)]dxdy

Damian#UDM: https://www.geogebra.org/3d?lang=pl

Damian#UDM: Powierzchnia na xy to koło. Wprowadzam współrzędne biegunowe. √3−x²−y²=√3−r² x²+y²−3=r²−3 0≤α≤2π 0≤r≤√3 ∫_D∫[f(x,y)−g(x,y)]dxdy=∫^2π₀∫^√3₀[√3−r²−r²+3]rdrdα Czy tak jest poprawnie?

Damian#UDM:

	9+2√3
V=		π
	2

Damian#UDM:

9		9+4√3
	+2√3=
2		2

Damian#UDM: https://drive.google.com/drive/folders/12t2Yo9KWim0iY-yCZs1-NjPMEXHDISa-?usp=sharing Czy ktoś jest mi w stanie powiedzieć gdzie popełniłem błąd?

luui: 0 ≤ θ ≤ π/2

Damian#UDM: A z czego to wynika? Jak mam z≥0 to nie jest to obszar od 0 do 180 stopni?

piotr: Damian, weź się za książkę.

Damian#UDM: Żebym miał na to czas, terminy gonią