Całka Lebesgue'a Klara_Ig2: Cześć, mam takie zadanie: Niech X=N, S=P(X) oraz μ({n}) = ¹_2ⁿ , dla n=1,2,.... Obliczyć całkę Lebesgue'a (Całka − dolna granica E) fdμ, jeżeli a) f(n)= ¹_3ⁿ, E=N b) f(n)= ¹_n!, E={2k: k należy do N} Nie mam pojęcia jak się za to zabrać. Całki liczyć umiem, tych bardziej skomplikowanych może niekoniecznie ale nie rozumiem po co jest ten warunek początkowy podany i jak to dalej obliczać.

Adamm: Masz taki wzór ∫_E f dμ = ∑_n∊E∩N f(n)μ({n})

Klara_Ig2: Więc za f(n) podstawić funkcje z przykładu? To po co jest ten początek?

Adamm: żebyś wiedział jaką masz przestrzeń

Klara_Ig2: Pokażesz mi na którymś przykładzie? Albo chociaż zaczniesz? Bo takich całek nigdy nie robiłam

Adamm: Po prostu podstaw sobie do wzoru i oblicz sumę szeregu

Klara_Ig2: Czyli obliczyć sumę szeregu? Nie bardzo rozumiem skąd przejście z całki do sumy w tym zadaniu

Klara_Ig2: Proszę, rozpisz mi to abym zrozumiała bo nadal nie wiem jak to podstawić i liczyć

Klara_Ig2: Na 1 przykładzie będzie coś takiego? Suma ( ¹_3ⁿ * ¹_2ⁿ) ? To może policzę a ten drugi przykład jak?

Klara_Ig2: Wie ktoś jak to obliczyć? Bardzo proszę o pomoc

Adamm: drugie tak samo tylko suma jest po liczbach parzystych

Klara_Ig2: Mogłbyś mi to proszę rozpisać?

Adamm: b) ∫_E f dμ = ∫ ∑_n∊E f(n) 1_{n} dμ = ∑_n∊E f(n) ∫ 1_{n} dμ = ∑_n∊E f(n)μ({n})

	1		1		x2n
= ∑n=1∞ f(2n)μ({2n}) = ∑n=1∞		*		= ∑n=1∞
	(2n)!		4n		(2n)!

gdzie x = 1/2

	x2n		exp(x)+exp(−x)
Ale łatwo zauważyć że ∑n=1∞		=		− 1
	(2n)!		2

	exp(1/2)+exp(−1/2)
Więc całka to		−1
	2

Klara_Ig2: A to u Ciebie w zapisie 1_{n} to co oznacza? Bo nie bardzo rozumiem tą pierwszą linijkę

Adamm: indykator zbioru {n}

Klara_Ig2: @Adamm przepraszam za moją nieobecność. Nie rozumiem tych obliczeń. Skąd się nagle wzięło f(2n)u({2n}) ? Nigdzie tego nie było w treści więc nie rozumiem...