Pytanie o trygonometrię dymix: mam pytanie. Czy jeśli mam zadanie sprawdź podane równości czy są tożsamościami trygo., wiedząc, że a należy do sumy pierwszej i drugiej ćwiartki, to czy mam to rozwiązać raz dla pierwszej i raz dla drugiej? zad. (cos a + ctg a)/cos a = 1 + 1/sin a czy w drugiej ćwiartce mam zamienić cos a na −cos a? Nie rozumiem trochę tej trygonometrii

Anawa: Tożsamości trygonometryczne obowiązują dla wszystkich kątow . Tożsamosci moga byc bezwarunkowe np sin²α+cos²α=1

	sinα
lub warunkowe np tgα=		gdy cosα≠0
	cosα

Tutaj zakładasz ze sinα≠0 a także cosα≠0

dymix: a czy to założenie wpływa jakoś na ten znak plus czy minus przy funkcji? I czy gdybym miał zbiór mówiący, że a należy do zbioru z 90 i 180, to czy mam dokonywać dodatkowych założeń dla tg a ?

Anawa: Dla wszystkich kątow −niezależnie od ćwiartki Założenie jest po to zeby nie dzielic przez 0

cosα+ctgα		1
	= 1+
cosα		sinα

	cosα		ctgα		ctgα		cosα
L=		+		=1+		= wiesz że ctgα=		dokończ
	cosα		cosα		cosα		sinα

proszę obliczenia i sprawdż czy lewa strona = prawej stronie

Anawa: Korzystałem tutaj ze wzoru

a+b		a		b
	=		+
c		c		c

dymix: Ja to już obliczyłem, znam własności. Nie rozumiem tylko zależności ćwiartek. Nie wiem po co mi mówią, że alfa należy tam czy tam, skoro i tak liczę to do wzoru.

dymix: czy gdyby alfa należała tutaj również do 180 i powiedzmy do innych ćwiartek, to czy zmieniłoby to wynik?

Anawa: Na początek przepisz treść zadania z książki czy z arkusza Poczytaj o tożsamościach trygonometrycznych

dymix: zapytam jutro. Kiedy będzie ktoś kto mógłby mi to wyjaśnić.

Louie314: Znaki funkcji w ćwiartkach:

	π
I ćwiartka (od 0 do		):
	2

sinα + cosα + tgα + ctgα +

	π
II ćwiartka (od		do π):
	2

sinα + cosα − tgα − ctgα −

	3π
III ćwiartka (od π do		):
	2

sinα − cosα − tgα + ctgα +

	3π
IV ćwiartka (od		do 2π):
	2

sinα − cosα + tgα − ctgα − Na podstawie tego łatwo przekształca się tożsamości w zależności od podanego kąta. Jest ogólna zasada, że jeżeli w mierze kąta mieści się nieparzysta ilość kątów prostych, to funkcja przechodzi w tzw. cofunkcję (sinα w cosα, cosα w sinα, tgα w ctgα lub ctgα w tgα). Jeżeli jest parzysta ilość kątów prostych, to funkcja nie przechodzi w cofunkcję. Następnie trzeba ustalić znak funkcji w danej ćwiartce (funkcji, która jest zamieniania). Kilka przykładów z wyjaśnieniem: 1) sin(90−α) 90 to jeden kąt prosty, a jeden to liczba nieparzysta, czyli już wiemy, że funkcja przejdzie w cofunkcję, czyli otrzymamy cosα. Pozostaje określić znak funkcji sinus. Będzie to ćwiartka I, gdyż kąt jest mniejszy niż 90. Sinus w tej ćwiartce jest dodatni, więc otrzymamy finalnie: sin(90−α)=cosα 2) tg(270+α) 270 to trzy kąty proste, a trzy to liczba nieparzysta, czyli już wiemy, że funkcja przejdzie w cofunkcję, czyli otrzymamy ctgα. Pozostaje określić znak funkcji tangens. Będzie to ćwiartka IV, gdyż kąt jest większy niż 270. Tangens w tej ćwiartce jest ujemny, więc otrzymamy finalnie: tg(270+α)=−ctgα 3) cos(180−α) 180 to dwa kąty proste, a dwa to liczba parzysta, czyli już wiemy, że funkcja nie przejdzie w cofunkcję, czyli otrzymamy cosα. Pozostaje określić znak funkcji cosinus. Będzie to ćwiartka druga, gdyż kąt jest mniejszy niż 180. Cosinus w tej ćwiartce jest ujemny, więc otrzymamy finalnie: cos(180−α)=−cosα Oczywiście zawsze α ∊ (0,90). Są to tzw. wzory redukcyjne.

figa: Masz zdrowie ....

Anawa: Tylko jego problem nie został rozwiązany . Ja rozumiem ze on pyta o to czy jeśli ma tożsamość i ma podane ze kąt należy np do 3 i 4 ćwiartki to czy ma rozpatrywać tę tożsamość osobno w 3 i osobno w 4 ćwiartce Dostał odpowiedż ze nie zależy to od wyboru ćwiartki Więc byłoby dobrze gdyby się ktoś wypowiedział na ten temat .

dymix: Dziękuję Anawa i Louie314. Dziękuję za poświęcony czas. Jednak muszę stwierdzić, że nie podaliście odpowiedzi na moje pytanie. Podam konkretną treść zadania. "Sprawdź czy podane równości są toż. tryg., widząc, że α∊(0,90)∪(90,180):" h) (cosα +ctgα)/cosα = 1+1/sinα. I teraz czy dla tego przykładu mam zakładać dodatkowo to o czym mówił Louie? Tj. czy mam założyć że cos a jest w drugiej ćwiartce i tym samym zmienić go na ujemnego sinusa? Wydaje mi się, że nie, ponieważ będę musiał zmienić też alfę. Dokładniej formułując moje pytanie. Jak to, że mam taki przedział alfy wpłynie na przebieg rozwiązywania zadania? Albo, jak mogłoby wpłynąć inne przedziały?

dymix: Czy zadnie musiałbym rozwiązać raz dla cos i ctg dodatnich i drugi raz dal ujemnych?

Japońska podróba 6-latka: Kolego, ktoś ci tu tłumaczył ,że założenia są po to żebyś nie musiał dzielić przez zero. Zwykle polecenie w tego typu zadaniach jest : "udowodnij tożsamość trygonometryczną i podaj odpowiednie założenia" tu autor mógł dać takie założenie bo w niektórych programach nauczania uczniowie rozważają funkcje trygonometryczne tylko dla kątów które mogą wystąpić w trójkącie czyli dwie ćwiartki . Przykładowo Nowa Era liceum 3 letnie klasa 2 zakres podstawowy − "funkcje kąta wypukłego" A dowód robisz w jednym przypadku bez dzielenia na ćwiartki

dymix: Jeśli tam mówisz. Nie będę się już przejmował założeniami. Założę tylko, że mianownik nie może być zerem. Dziękuję