Zadanie dowodowe Kck: Udowodnij, że jeśli x, y, z są liczbami rzeczywistymi takimi, że x+y+z=1, to x²+y²+z²≥¹₃. Pomnożyłem x²+y²+z²≥¹₃ przez 3: 3(x²+y²+z²)≥1. Czy takie rozwiązanie wraz z uzasadnieniem wystarczy? Jeżeli suma x, y, z jest równa 1 to wydaje się oczywiste że suma kwadratów tych liczb pomnożona przez 3 będzie większa lub równa 1. Dobrze myślę?

ABC: zaraz ktoś tu wyskoczy z ciężką artylerią nierówność Schwarza czy funkcje wypukłe , chociaż elementarny dowód tego to właściwie powtórzenie dowodu nierówności Schwarza

Maciess: No nie do końca.

Kck:

Maciess: Wyznacz sobie jakąś zmienną np z z tego warunku i wstaw do nierówności. Przekształcaj równoważnie i spróbuj zwinąć w jakieś kwadraty. Powinno pojsc

Saizou : Z nierówności między średnią kwadratową a arytmetyczną mamy

	x2+y2+z2		x+y+z
√		≥
	3		3

	x2+y2+z2		1
√		≥
	3		3

x2+y2+z2		1
	≥
3		9

	1
x2+y2+z2 ≥
	3

Louie314: Najłatwiej będzie skorzystać z nierówności pomiędzy średnią kwadratową, a arytmetyczną − praktycznie od razu otrzymasz tezę.

ABC: autor wątku − na jakim poziomie jesteś? jeśli szkoła średnia zwyczajne liceum , to może przejdź do nierówności kwadratowej z parametrem , eliminując z

ICSP: Radzę nie używać w dowodzie sformułowań typu: "wydaje się" , "chyba" Dowód wprost: Dla dowolnych liczb rzeczywistych prawdziwa jest nierówność: (x−y)²+ (y−z)² + (x − z)² ≥ 0

	2xy + 2xz + 2yz		(x+y+z)2 − (x2 + y2 + z2)
x2 + y2 + z2 ≥ (xy + xz + yz) =		=
	2		2

Dlatego 3(x² + y² + z²) ≥ (x+y+z)² = 1² = 1

	1
x2 + y2 + z2 ≥
	3

□ P.S. Najszybciej, najkrócej a więc rozwiązanie najefektywniejsze wykorzysta nierówność między średnią kwadratową oraz arytmetyczną.

ABC: z nierówności Jensena (x²−funkcja wypukła)

	x2+y2+z2		x+y+z		1		1
x2+y2+z2=3		≥3(		)2=3(		)2=
	3		3		3		3

też eleganckie

Saizou : Szybki dowód nierówności, na którą się powołałem (x+y+z)² + (x−y)²+(x−z)² + (y−z)² = 3(x²+y²+z²), zatem zachodzi nierówność (x+y+z)² ≤ 3(x²+y²+z²). I teraz można podstawić x+y+z = 1 1 ≤ 3(x²+y²+z²)

	1
x2+y2+z2 ≥
	3

Kck: Jestem na poziomie szkoły średniej, widać muszę się jeszcze trochę nauczyć. Szkoda tylko że matura za tydzień

ICSP: Już za tydzień ? Dzień sądu nadchodzi ^^

Kck: Niestety. Jak się przez 4 lata bimbało to z pustego i Salomon nie naleje. Na matematyce będzie Wielka Improwizacja

ABC: Nobody will get through, nobody, Not even you, can escape the Judgement Day, Nobody will be spared, Heaven is only there, For the ones who satisfy them at Saint Peter's Gate.

ICSP: raczej wielka strzelnica. Chociaż i tak wam w tym roku ułatwili zwiększając ilość punktów z zadań zamkniętych i zmniejszając ilość punktów z zadań otwartych. Więc prawdopodobieństwo zdania wyłącznie strzelając powinno być większe (chociaż i tak nie powinno nawet do 1% dojść)

Kck: Na podstawie tak, na rozszerzeniu już niekoniecznie.